ВходДинамика поступательного движения материальной точки. Законы Ньютона. Динамика поступательного движения 3 закон ньютона при вращательном движении
Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.
Основу динамики составляют законы Ньютона.
I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .
ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.
Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.
Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.
I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:
1) все тела обладают свойством инертности;
2) существуют ИСО.
Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.
В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.
Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.
Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что m и =m г, поэтому говорят просто о массе тела.
[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.
Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.
Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.
Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы . Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:
Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.
II закон. Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально ее массе и совпадает по направлению с действующей силой.
Где - равнодействующая сила.
Силу можно выразить формулой
, 
1Н - это сила, под действием которой тело массой 1 кг получает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.
Второй закон Ньютона можно записать в другом виде, введя понятие импульса:
.
Импульс - векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и сонаправленная с вектором скорости.
Курсовая работа
тема: «Динамика поступательного движения»
Москва 2013
Введение
Первый закон Ньютона
Второй закон Ньютона
Третий закон Ньютона
Закон всемирного тяготения
Неинерциальные системы отсчета
Основные формулы динамики поступательного движения
Введение
Динамикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с причинами, вызывающими это движение. Динамику можно разделить на классическую, релятивистскую и квантовую. В этой главе рассматривается классическая динамика. При этом предполагается, что скорости движения тел значительно меньше скорости света (v<
Начало классической механике положили работы Галилея, а сама классическая механика как наука была сформирована после работ И. Ньютона. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Эти законы являются обобщением человеческого опыта и заслугой Ньютона является то, что он из огромного числа опытных фактов сумел выделить главные, которые стали краеугольными камнями классической физики.
Механическое движение тела можно разложить на поступательное и вращательное и, соответственно, отдельно рассматривать динамику поступательного и вращательного движений. Для описания динамики поступательного движения, кроме кинематических характеристик, необходимо ввести ряд новых понятий, важнейшими из которых являются понятие массы и силы.
1. Первый закон Ньютона
Первый закон Ньютона: Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.
Математически этот закон можно записать в виде=const или v = 0 при F = 0,
где F - сила, действующая на точку. Оба равенства можно заменить одним a = 0 при F = 0.
До работ Галилея считалось, что для поддержания движения с постоянной скоростью к телу необходимо прикладывать некоторую силу. Об этом говорил повседневный опыт, положение о наличии силы было заложено в физическом учении Аристотеля. Галилей учел наличие сил трения и путем логических рассуждений пришел к выводу, сформулированному первым законом Ньютона. Инертностью называется стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Опыт показывает, что все тела обладают инертностью. Более подробно понятие инертности обсуждается ниже. Система отсчета называется инерциальной, если в ней выполняется первый закон Ньютона. Поэтому иногда первый закон Ньютона называют законом инерции. Кроме инерциальных, существуют и неинерциальные системы отсчета, т.е. такие системы, в которых не выполняется первый закон Ньютона (ускоренно движущийся автомобиль, центрифуга и др.). Неинерциальные системы отсчета обсуждаются ниже.
Если вспомнить второй закон Ньютона
то получается, что первый закон вытекает из второго при. Это вызывает определенное недоумение. Зачем провозглашать в качестве закона элементарное следствие из другого закона?
Если силы известны, то из следует. С другой стороны, как знать, что на тело не действует сила? Можно сказать, что, если, то и. Получается замкнутый круг.
Пример: падающий лифт является инерциальной системой, хотя он и движется с ускорением относительно земли. Здесь тело движется с постоянной скоростью, если на него не действуют внешние силы.
Смысл первого закона заключается в том, что если на тело не действуют внешние силы, то найдется система отсчета, в которой это тело покоится или движется с постоянной скоростью. Таких систем бесконечно много.
В «астрономической системе отсчета» центр системы координат связан с Солнцем, а оси направлены на неподвижные звезды. С очень высокой точностью такая система является инерциальной.
механика масса инерционный
2. Второй закон Ньютона
Для формулировки второго закона Ньютона необходимо ввести понятия массы и силы. Известно, что всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел назвали инертностью. Основной характеристикой инертных свойств тела является масса. Существуют различные определения массы.
Массой называется физическая величина, определяющая инерционные свойства тела. Для того, чтобы пользоваться этим определением необходимо указать метод измерения инерционных свойств. Можно, например, рассмотреть изменение движения различных тел под действием одной и той же силы. Сравнивая ускорения, приобретаемые различными телами, можно получить сравнительные оценки и для масс. При этом тела, обладающие большей массой, получают меньшее ускорение.
Массой называется количество вещества, содержащегося в теле. Такое определение массы дал Ньютон. Это достаточно общее, но не вполне строгое определение (в рамках теории относительности масса может меняться при движении).
Существует также понятие гравитационной массы, которую можно определить, используя гравитационное взаимодействие между двумя массами, описываемое законом Ньютона
где G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная, т1 и т2 - массы тел, r - расстояние между телами.
В качестве единицы массы принят 1 кг - масса эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (Париж). Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В рамках классической механики можно выделить несколько наиболее часто встречающихся видов сил. Из фундаментальных сил, которые нельзя свести к более простым - это гравитационные и электромагнитные силы. Частным случаем гравитационной силы является сила тяжести. Часто приходится иметь дело с упругими силами и силами трения. Рассмотрим эти силы более подробно. Гравитационные силы описываются формулой Ньютона, приведенной выше. Если в качестве массы взять массу Земли М, а в качестве r радиус Земли R, то получим выражение для силы тяжести
Величина Р определяет силу, с которой притягиваются к земле все тела, имеющие массу т. Весом тела называют силу, с которой тело действует на горизонтальную опору. Если не учитывать вращение Земли и рассматривать неподвижную относительно Земли систему отсчета, то вес тела совпадает с его силой тяжести. В более сложных случаях следует учитывать силы инерции (см. ниже).
Упругие силы возникают при деформации тел (растяжение или сжатие, изгиб, кручение) и обусловлены межмолекулярным взаимодействием. При растяжении пружины от положения равновесия на величину х возникает упругая сила
Здесь k - жесткость пружины, - константа, характеризующая упругие свойства пружины. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную смещению пружины и стремится вернуть пружину в положение равновесия. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел относительно друг друга. Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними называют сухим трением. Различают трение покоя, трение скольжения и трение качения. Если на тело, лежащее на плоской шероховатой поверхности, действует сила F, но тело не движется, то сила F уравновешена силой трения.
Эту силу называют силой трения покоя. Она действует на тело со стороны поверхности на границе соприкосновения и определяется формулой
Сила трения скольжения определяется формулой
где k - коэффициент трения, N - сила реакции опоры. Она определяет усилие, с которым тела прижимаются друг к другу (сила нормального давления). Приведенную формулу иногда называют законом Кулона - Амонтона.
Силы трения покоя и трения скольжения часто объединяют в одну, которую определяют формулой
График этой силы имеет вид
Сила трения качения мала по сравнению с силами трения скольжения, и мы ее здесь не рассматриваем.
Об электрических и магнитных силах речь будет идти в соответствующих разделах электромагнетизма. На атомном и ядерном уровнях вместо сил обычно рассматривают взаимодействия, которые описывают с позиции энергии.
Второй закон Ньютона: Ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально действующей на нее силе и обратно пропорционально массе точки:
Обычно этот закон записывают в виде
Здесь сила и ускорение рассматриваются как векторы.
Единицей силы в системе СИ является 1Н (ньютон) - это сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение в 1 м/с2
Отметим, что масса и сила являются аддитивными величинами, т.е. масса системы материальных точек определяется выражением
а действие нескольких сил можно заменить действием одной
Если F = 0, то из второго закона Ньютона вытекает a = 0. Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил v = const, т.е. утверждение, содержащееся в первом законе Ньютона. На самом деле ценность первого закона в том, что он утверждает существование инерциальных систем отсчета. Импульсом материальной точки называется величина
Второй закон Ньютона является основным законом динамики поступательного движения.
Третий закон Ньютона
Мы рассматривали действие других тел на выбранное тело. На самом деле между различными телами существует взаимодействие, т.е. выбранное тело также воздействует на другие тела.
Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.
Если тело покоится на горизонтальной плоскости, то схема действующих сил имеет вид
ила нормального давления N cвязана с силой тяжести соотношением
Для тела, движущегося по шероховатой горизонтальной плоскости под действием силы F, можно ввести следующие основные силы, показанные на рисунке:
Как отмечалось выше, сила трения описывается выражением
где k - коэффициент трения.
Закон всемирного тяготения
Из множества сил, способных действовать на материальное тело следует выделить силы всемирного тяготения. Они составляют закон, открытый Ньютоном и позволивший объяснить движение небесных тел и происхождение силы тяжести. Три закона Ньютона в совокупности с законом тяготения позволили Ньютону создать небесную механику и объяснить законы Кеплера, движение планет, комет, спутников и других небесных тел.
Закон тяготения Ньютона. Две материальные точки массами и, расположенные на расстоянии r друг от друга, притягиваются с силой, прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:
Здесь G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная. При этом сила направлена вдоль линии, соединяющей точки.
Эта формула справедлива для материальных точек, т.е. когда размерами тел можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между телами, необходимо использовать операцию интегрирования.
Как уже отмечалось, из закона тяготения легко получить выражение для ускорения силы тяжести
где М и - масса и радиус Земли.
Пример 1. Определить изменение ускорения силы тяжести при изменении высоты подъема над поверхностью Земли.
Решение. Ускорение силы тяжести определяется формулой
где - радиус Земли, h - высота подъема. При получим
ускорение силы тяжести на поверхности Земли.
Полученная формула показывает, что заметного изменения g можно ожидать на высотах, сравнимых с радиусом Земли км.
Вопрос. Почему космонавты испытывают чувство невесомости на высоте км?
Пример 2. Определить первую и вторую космические скорости, т.е. скорости при которых ракета будет вращаться вокруг Земли или покинет Землю.
Решение. Сделаем рисунок
Первая космическая скорость определяется из условия
Отсюда получим
Для определения второй космической скорости найдем работу, которую надо совершить для удаления ракеты от Земли
Из закона сохранения энергии
Аналогично можно найти третью космическую скорость, при которой ракета покинет Солнечную систему.
Неинерциальные системы отсчета
Законы Ньютона справедливы только в инерциальной системе отсчета. В частности, в ускоренно движущемся лифте при отсутствии внешних сил траектория материальной точки будет отличаться от прямой линии. Если в ускоренно движущемся лифте измерять вес тела с помощью пружинных весов, то в поднимающемся и опускающемся лифтах показания весов будут разными и отличаться от показаний в покоящемся лифте.
Система отсчета называется неинерциальной, если она движется с ускорением относительно инерциальной системы. Если и - ускорения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах, - ускорение системы отсчета, то
Геометрически это имеет вид
Законы Ньютона можно записывать в неинерциальных системах, если к действию внешних сил добавить силы инерции:
где - ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета. Значение силы инерции зависит от выбора неинерциальной системы отсчета и характера движения материальной точки в этой системе. Соответственно двум движениям тела - поступательному и вращательному - применяют как поступательно движущиеся, так и вращающиеся неинерциальные системы отсчета.Отметим, что сила инерции отличается от других сил тем, что она существует только в неинерциальной системе отсчета и для нее нельзя указать тех конкретных сил, со стороны которых она действует. В частности, силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона - для них нет силы противодействия. Соответственно, в неинерциальных системах могут не выполняться законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Отметим, что связь между силами инерции и силами тяготения лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.
Рассмотрим простейшие случаи проявления сил инерции.
) Ускоренное поступательное движение системы отсчета. Если в инерциальной системе отсчета уравнение Ньютона имеет вид
то в неинерциальной системе получим
Если в неинерциальной системе материальная точка покоится (), то
Эта формула дает выражение для силы инерции в поступательно движущихся неинерциальных системах.
) Центробежная сила инерции. Рассмотрим материальную точку, закрепленную на вращающемся диске.
На точку действует сила инерции
которую называют центробежной силой инерции. Она направлена по радиусу от центра вращения. Используя векторные обозначения, запишем эту силу в векторном виде
В справедливости этой формулы нетрудно убедиться, построив соответствующий рисунок и указав направления векторов.
) Силы Кориолиса. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила действует как на неподвижное, так и на движущееся тело. Кроме на движущуюся во вращающейся системе отсчета материальную точку действует дополнительная сила, связанная с перемещением этой точки.
Силой Кориолиса называют силу, связанную с движением материальной точки во вращающейся системе координат. Более полное название этой силы - кориолисова сила инерции. Действие этой силы показано на рисунке.
Если диск не вращается, материальная точка при отсутствии внешних сил движется по прямой ОА. Во вращающемся диске траектория материальной точки относительно диска изобразится кривой ОВ. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета на материальную точку действует сила FK, направленная перпендикулярно скорости v (скорость задается относительно диска, т.е. в неинерциальной системе координат). Можно показать, что сила Кориолиса определяется формулой
Эта формула остается справедливой при любом направлении скорости (не обязательно по радиусу).
Итак, в произвольной неинерциальной системе отсчета основной закон динамики имеет вид
Здесь сила F вызывается взаимодействием между телами, а силы Fи, Fц и FК связаны с ускоренным движением системы отсчета.
Отметим, что в неинерциальной системе отсчета при использовании законов сохранения энергии и импульса необходимо учитывать действие сил инерции.
Основные формулы динамики поступательного движения
Импульс
Второй закон Ньютона
Третий закон Ньютона
Сила гравитационного взаимодействия
Сила сухого трения
Координаты центра масс
Уравнение движения в неинерциальной системе отсчета
Сила инерции
Центробежная сила инерции
Сила Кориолиса
Список использованной литературы и источников
1. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.
Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.
Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.
Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.
Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.
Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта: наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики и специально поставленных экспериментов.
Великий итальянский физик Галилео Галилей экспериментально установил, что материальная точка (тело) достаточно удаленная от всех других тел (т.е. не взаимодействующая с ними) будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это положение Галилея было подтверждено всеми последующими опытами и составляет содержание первого основного закона динамики, так называемого закона инерции. При этом покой следует рассматривать как частный случай равномерного и прямолинейного движения, когда.
Этот закон одинаково справедлив как для движения гигантских небесных тел, так и для движения мельчайших частиц. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией.
Равномерное и прямолинейное движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции.
Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, носит название инерциальной системой отсчета. Инерциальной системой отсчета практически точно является гелиоцентрическая система. В виду громадного расстояния до звезд, их движением можно пренебречь и тогда оси координат, направленные от Солнца на три звезды, не лежащие в одной плоскости, будут неподвижными. Очевидно, любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, также будет инерциальной.
Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать исчерпывающим. Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства: сила притяжения, испытываемая данным телом со стороны другого тела, пропорциональна их массам. Масса определяет полный запас энергии материального тела.
Понятие массы позволяет уточнить определение материальной точки. Материальной точкой называется тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, следовательно, характеризуется величиной своей массы. В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике.
Эйнштейн показал, что масса движущегося тела зависит от скорости
где m 0 - масса покоящегося тела, - скорость движения тела, с - скорость света в вакууме.
Из (2.1) следует, что при движении тел с малыми скоростями c масса тела равна массе покоя, т.е. m=m 0 ; при c масса m.
Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований Ньютон сформулировал второй основной закон динамики, количественно связавший изменение движения материального тела с силами, вызывающими это изменение движения. Остановимся на анализе этого важнейшего понятия.
В общем случае сила - есть физическая величина, характери-зующая действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численной величиной или модулем, направлением в пространстве и точкой приложения.
Если на материальную точку действуют две силы и, то их действие эквивалентно действию одной силы
получаемой из известного треугольника сил (рис.2.1). Если на тело действуют n-сил, суммарное действие эквивалентно действию одной равнодействующей, являющейся геометрической суммой сил:
Динамическое проявление силы состоит в том, что под действием силы материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела (пружины) под действием сил деформируются, газы - сжимаются.
Уравнение (2.3) представляет математическую запись второго основного закона динамики:
вектор силы, действующий на материальную точку численно равен произведению массы точки на вектор ускорения, возникающего при действии этой силы.
Поскольку ускорение
где - единичные векторы, - проекции ускорения на координатные оси, то
Если обозначить, то выражение (2.4) можно переписать через проекции сил на координатные оси:
В системе СИ за единицу силы принимается ньютон.
Согласно (2.3) ньютон есть такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 . Легко видеть, что
Второй закон Ньютона можно записать иначе, если ввести понятие импульса тела (m) и импульса силы (Fdt). Подставим в
(2.3) выражение для ускорения
Таким образом, элементарный импульс силы, действующий на материальную точку в течение промежутка времени dt, равен изменению импульса тела за тот же промежуток времени.
Обозначив импульс тела
получим следующее выражение для второго закона Ньютона:
В релятивистской механике при c основной закон динамики и импульс тела с учетом зависимости массы от скорости (2.1.) запишутся в следующем виде
До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами: влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек: если материальная точка m 2 испытывает со стороны материальной точки m 1 силу, равную, то m 1 испытывает со стороны m 2 силу, равную по величине и противоположную по направлению:
Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m 1 и m 2 , как показано на рисунке 2.2. Рисунок 2.2,а относится
Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).
Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.
В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.
Поступательно движется, например, кабина лифта. Также, в первом приближении, поступательное движение совершает кабина колеса обозрения. Однако, строго говоря, движение кабины колеса обозрения нельзя считать поступательным.
Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел
Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.
Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Рассматривая действие различных сил на данную материальную точку (тело), то ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей данных приложенных сил:
При действии одинаковой силы на тела с различными массами ускорения тел оказываются различными, а именно
Учитывая (1) и (2) и то, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать
Соотношение (3) есть второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В системе измерений СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда
Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике постоянна, в выражении (4) массу можно внести под знак производной:
Векторная величина
численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.Подставляя (6) в (5), получим
Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.
Основные характеристики поступательного движения:
1.путь - любое движение вдоль траектории
2.перемещение – самый короткий путь.
А также сила, импульс, масса, скорость, ускорении и т.д.
Число степеней свободы - это минимальное число координат (параметров), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве.
В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и ускорение.
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.
Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.
P-Импульс
(с векторами)
14. Различия вращательного и поступательного движения. Кинематика вращательного движения . Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.[ Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w , линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . Сравнительные параметры движения:
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
Перемещение S |
Угловое перемещение φ |
|
Линейная скорость |
Угловая скорость |
|
Ускорение |
Угловое ускорение |
|
Момент инерции I |
|
|
Момент импульса |
|
|
Момент силы M |
|
Работа: |
Работа: |
|
Кинетическая
энергия
|
Кинетическая
энергия
|
|
Закон сохранения импульса (ЗСИ) |
Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) |
При описании вращательного движения твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета принято использовать векторные величины особого рода. В отличие от рассмотренных выше полярных векторов r (радиус-вектор), v (скорость), a (ускорение), направление которых естественным образом вытекает из природы самих величин, направление векторов, характеризующих вращательное движение, совпадает с осью вращения, поэтому их называют аксиальными (лат. axis – ось).
Элементарный поворот dφ – аксиальный вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление вдоль оси вращения ОО" (см. рис. 1.4) определяется правилом правого винта. (угол вращения твердого тела).
Рис.1.4. К определению направления аксиального вектора
Линейное перемещение dr произвольной точки А твердого тела связано с радиусом-вектором r и поворотом dφ соотношением dr=rsinα dφ или в векторном виде через векторное произведение:
dr= (1.9)
Соотношение (1.9) справедливо именно для бесконечно малого поворота dφ.
Угловая скорость ω – аксиальный вектор, определяемый производной вектора поворота по времени:
Вектор ω, как и вектор dφ, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.1.5).
Рис.1.5. К определению направления вектора
Угловое ускорение β – аксиальный вектор, определяемый производной вектора угловой скорости по времени:
β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""
При ускоренном движении вектор β по направлению совпадает с ω (рис. 1.6,а), а при замедленном - векторы β и ω направлены противоположно друг другу (рис. 1.6,б).
Рис.1.6. Связь между направлениями векторов ω и β
Важное замечание: решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси по форме аналогично задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины x, vx, ax на соответствующие им угловые φ, ω и β, и мы получим уравнения, аналогичные (1.6) -(1.8).
Период обращения-
(Время, за которое тело совершает один оборот)
Частота(количество оборотов за единицу времени)-
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Краткая теория
В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными силами, а также с упругими силами и силами трения.
Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна произведению масс точек и , обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:
, (3.1)
где G =6,67∙10 -11 м 3 /(кг∙с 2) - гравитационная постоянная.
Сила тяжести – это сила притяжения в гравитационном поле небесного тела:
| , | (3.2) |
где - масса тела; - ускорение свободного падения, - масса небесного тела, - расстояние от центра масс небесного тела до точки, в которой определяется ускорение свободного падения (рис. 3.1).
Вес -
это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес равен силе тяжести , действующей на тело со стороны Земли. В противном случае вес 
, где - ускорение тела (с опорой) относительно Земли.
Упругие силы
Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила. С учетом направления действия для упругой силы имеет место формула:
| , | (3.3) |
где k - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), - абсолютная деформация. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука. Этот закон справедлив только для упругих деформаций.
В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:
где l 0 - длина стержня в недеформированном состоянии, Δl – абсолютное удлинение стержня. Опыт показывает, что для стержней из данного материала, относительное удлинение ε при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
, (3.5)
где E - модуль Юнга (величина, характеризующая упругие свойства материала). Эта величина измеряется в паскалях (1Па=1Н/м 2). Отношение F/S представляет собой нормальное напряжение σ , поскольку сила F направлена по нормали к поверхности.
Силы трения
Придвижении телапо поверхности другого тела или в среде (воде, масле, воздухе и т.д.) оно встречает сопротивление. Это сила сопротивления движению . Она является результирующей сил сопротивления формы тела и трения: 
. Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если имеется жидкая смазка, это будет уже вязкое трение
между слоями жидкости. Аналогично обстоит дело и при движении тела, полностью погруженного в среду. Во всех этих случаях сила трения зависит от скорости сложным образом. Для сухого трения
эта сила сравнительно мало зависит от скорости (при малых скоростях). Но трение покоя нельзя определить однозначно. Если тело покоится и нет силы, стремящейся сдвинуть тело, равна нулю. Если такая сила есть, тело не сдвинется до тех пор, пока эта сила не станет равной некоторому значению , называемому максимальным трением покоя. Сила трения покоя может иметь значения от 0 до , что отражено на графике (рис. 3.2, кривая 1) вертикальным отрезком. В соответствии с рис. 3.2 (кривая 1), сила трения скольжения с увеличением скорости вначале несколько убывает, а затем начинает возрастать. Законы сухого трения
сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:
| , | (3.6) |
где - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.
Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.
Сила вязкого трения обращается в нуль вместе со скоростью. При малых скоростях она пропорциональна скорости:
где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Величина коэффициента зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью. Этот коэффициент зависит и от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости (рис. 3.2, кривая 2).
Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Соответственно первый закон Ньютона также называют законом инерции , а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции .
Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называется инертностью . У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:
1) масса – величина аддитивная, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей ;
2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.
Второй закон Ньютона: под действием результирующей силы тело приобретает ускорение
Силы и приложены к разным телам. Эти силы одной природы.
Импульс – векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:
| , | (3.10) |
где - импульс тела, - масса тела, - скорость тела.
Для точки, входящей в систему точек:
, (3.11)
где - скорость изменения импульса i –ой точки системы; - сумма внутренних сил, действующих на i –ю точку со стороны всех точек системы; - результирующая внешняя сила, действующая на i –ю точку системы; N- число точек в системе.
Основное уравнение динамики поступательного движения для системы точек:
, (3.12)
где 
- скорость изменения импульса системы; - результирующая внешняя сила, действующая на систему.
Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела:
 ,
| (3.13) |
где - результирующая сила, действующая на тело; - скорость центра масс тела, 
скорость изменения импульса центра масс тела.
Вопросы для самоподготовки
1. Назовите группы сил в механике, дайте им определение.
2. Дайте определение результирующей силы.
3. Сформулируйте закон всемирного тяготения.
4. Дайте определение силы тяжести и ускорения свободного падения. От каких параметров зависят эти физические величины?
5. Получите выражение для первой космической скорости.
6. Расскажите о весе тела, условиях его изменения. Какова природа этой силы?
7. Сформулируйте закон Гука и укажите границы его применимости.
8. Расскажите о сухом и вязком трении. Объясните, как зависит сила сухого и вязкого трения от скорости движения тела.
9. Сформулируйте первый, второй и третий законы Ньютона.
10. Приведите примеры выполнения законов Ньютона.
11. Почему первый закон Ньютона называют законом инерции?
12. Дайте определение и приведите примеры инерциальных и неинерциальных систем отсчета.
13. Расскажите о массе тела как мере инертности, перечислите свойства массы в классической механике.
14. Дайте определение импульса тела и импульса силы, укажите единицы измерения этих физических величин.
15. Сформулируйте и запишите основной закон динамики поступательного движения для изолированной материальной точки, точки системы, системы точек и твердого тела.
16. Материальная точка начинает двигаться под действием силы F x , график временной зависимости которой представлен на рисунке. Изобразите график отражающий зависимость величины проекции импульса p x от времени.
Примеры решения задач
3
.1
. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой , а коэффициент трения зависит только от расстояния до центра площадки по закону 
где постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке , по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?
Дано: Найти:
R, r(v max ), v max .
В задаче рассматривается движение велосипедиста по окружности. Так как скорость велосипедиста по модулю постоянна, то он движется с центростремительным ускорением под действием нескольких сил: силы тяжести , силы реакции опоры и силы трения (рис.3.4).
Применяя второй закон Ньютона, получим:
++ + =m . (1)
Выбрав оси координат (рис.1.3), запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:
С учетом того, что F тр =μF N =
mg
, получим выражение для скорости:
. (2)
Для нахождения радиуса r , при котором скорость велосипедиста максимальна, необходимо исследовать функцию v(r) на экстремум, то есть найти производную и приравнять ее к нулю:
= 
=0. (3)
Знаменатель дроби (3) не может быть равным нулю, тогда из равенства нулю числителя получим выражение для радиуса окружности, при котором скорость максимальна:
Подставляя выражение (4) в (2), получим искомую максимальную скорость:
.
Ответ: 
.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону где c - постоянная. Найти зависимость от ускорения доски и бруска если коэффициент трения между доской и бруском равен. Изобразите примерные графики этих зависимостей.
Дано: Найти:
m 1 , 1.
m 2 , 2.
|
| |
| |
В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел (доски и бруска), между которыми действует сила трения. Между доской и плоскостью сила трения отсутствует. Сила F , приложенная к бруску, растет со временем, поэтому до некоторого момента времени брусок и доска движутся вместе с одинаковым ускорением, а при брусок начнет обгонять доску, будет скользить по ней. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Поэтому силы трения, действующие на доску и брусок , направлены так, как показано на рисунке 3.5, причем . Пусть момент начала отсчета времени t= 0совпадает с началом движения тел, тогда сила трения будет равна максимальной силе трения покоя (где сила нормальной реакции доски, уравновешенная силой тяжести бруска ). Ускорение доски возникает под действием одной силы трения , направленной так же, как и сила .
Зависимость ускорения доски и ускорения бруска от времени можно найти из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела. Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел можно записать в скалярной форме (для проекций на ось ОХ):
Учитывая, что , = , можно получить:
. (1)
Из системы уравнений (1) можно найти момент времени , учитывая, что при 
:
.
Решив систему уравнений (1) относительно , можно получить:
(при ). (2)
При ускорения и различны, но сила трения имеет определенное значение 
, тогда:
(3)
|
График зависимости ускорений от времени для тел и можно построить на основании выражений (2) и (3). При график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При график прямая, параллельная оси абсцисс, график прямая, идущая вверх более круто (рис.3.6).
Ответ: при ускорения 
при 
. Здесь .
3.3. В установке (рисунок 3.7) известны угол φ наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс , при котором тело :
1) начнет опускаться;
2) начнет подниматься;
3) будет оставаться в покое.
Дано: Найти:
Решение:
|
В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. На тело массы действуют сила тяжести сила нормальной реакции наклонной плоскости, сила натяжения нити и сила трения . На тело действуют только сила тяжести и сила натяжения нити (рис. 3.7). В условиях равновесия ускорения первого и второго тела равны нулю , а сила трения является силой трения покоя, и ее направление противоположно направлению возможного движения тела . Применяя второй закон Ньютона для первого и второго тела, получаем систему уравнений:
(1)
Bследствие невесомости нити и блока . Выбрав оси координат (рис.3.7 а , 3.7 б ), запишем для каждого тела уравнение движения в проекциях на эти оси. Тело начнет опускаться (рис. 3.7 а ) при условии:
(2)
При совместном решении системы (2) можно получить
(3)
С учетом того, что выражение (3) можно записать в виде:
(4)