ВходМожет ли быть коэффициент вариации отрицательным. Статистические параметры
Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней, которое рассчитывается следующим образом:
Элементарное алгебраическое преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к следующему виду:
Эта формула часто оказывается более удобной в практике расчетов.
Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется такое соотношение:
Зная это соотношение, можно по известному показатели определить неизвестный, например, но (I рассчитать а и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (рублях, тоннах, годах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.
Для альтернативных признаков, например наличия или отсутствия высшего образования, страховки, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения такие:
Покажем расчет среднего квадратического отклонения по данным дискретного ряда, характеризующего распределение студентов одного из факультетов вуза по возрасту (табл. 6.2).
Таблица 6.2.
Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 2-5 табл. 6.2.
Средний возраст студента, лет, определен по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2):
Квадраты отклонения индивидуального возраста студента от среднего содержатся в графах 3-4, а произведения квадратов отклонений на соответствующие частоты - в графе 5.
Дисперсию возраста студентов, лет, найдем по формуле (6.2):
Тогда о = л/3,43 1,85 *ода, т.е. каждое конкретное значение возраста студента отклоняется от среднего значения на 1,85 года.
Коэффициент вариации
По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариантов и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с различными средними уровнями непосредственно нельзя. Чтобы иметь возможность для такого сравнения, нужно найти удельный вес среднего отклонения (линейного или квадратического) в среднем арифметическом показателе, выраженном в процентах, т.е. рассчитать относительные показатели вариации.
Линейный коэффициент вариации вычисляют по формуле
Коэффициент вариации определяют по следующей формуле:
В коэффициентах вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, возникающая вследствие различий в величине средних арифметических. Кроме того, показатели вариации дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
По данным табл. 6.2 и полученным выше результатам расчетов определим коэффициент вариации, %, по формуле (6.3):
Если коэффициент вариации превышает 33%, то это свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Полученное в пашем случае значение говорит о том, что совокупность студентов по возрасту однородна по своему составу. Таким образом, важная функция обобщающих показателей вариации - оценка надежности средних. Чем меньше с1, а2 и V, тем однороднее полученная совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Согласно рассматриваемому математической статистикой "правилу трех сигм" в нормально распределенных или близких к ним рядах отклонения от средней арифметической, не превосходящие ±3ст, встречаются в 997 случаях из 1000. Таким образом, зная х и а, можно получить общее первоначальное представление о вариационном ряде. Если, например, средняя заработная плата работника по фирме составила 25 000 руб., а а равна 100 руб., то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что заработная плата работников фирмы колеблется в пределах (25 000 ± ± 3 х 100) т.е. от 24 700 до 25 300 руб.
Вариация - это принятие единицами совокупности или группами различных, отичающихся друг от друга, значений знака. Вариация является результатом воздействия на единицу совокупности множества факторов. Синонимами терминация являются понятия изменение (изменчивость, вариативность’).
Вариация - одна из важнейших категорий статистической науки. Явления, подверженньие вариации, лежат в области исследования статистической науки, в то время как явления неизменные, статистические, постоянные в статистике не рассматриваются.
Практически все явления, имеющие естественный характер происхождения, подвержены изменчивости (например, химические процессы, изменчивость наследственных признаков у каждого человека и др.). Явления, а также ряд естественных законов могут иметь неизменный характер (например, минимальный размер заработной платы)
Необходимо подчеркнуть значение исследования вариации в статистической науке:
1 . Выявление измеычввости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов, в свою очередь подверженньих изменчивости, или, другими словами, - оценить степень устойчивоти явленияк внешним воздействиям.
2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, т. е. меру типичности, рассчитанной для этого явления средней величины.
Вариационным рядом называется последовательность различных вариант, записанных в возрастающем порядке вместе с соответствующими частотами.
В зависимости от типа признака различают дискретньие и интервальные вариационньие ряды. В зависимости от объема исходных данных и области допустимых значений одномерного количествснного признака, частотные распределения также подразделяются на дискретньие и интервальные. Если различных очень много (более 10-15), то эти варианты группируют вьибирая определенное число интервалов группировки и таким образом интервальное частотное распределение.
Первым шагом при построении интервального вариационого ряда является выбор определенного принципа, который дается в основу построения интервального ряда. Выбор этого принципа зависит от степени однородности рассматриваемой совокуности. Если совокупность однородна, то при построении ряда используют принцип равных интервалов. При этом вопрос однородности решается содержательным анализом изучаемых явлений.
Изменчивость явления в статистическом анализе отображается с помощью целого ряда характеристик, называемых системой показателей вариации . В нее входят:
абсолютные показатели вариации :
1) размах вариации;
2) средние величины (групповые и общие):
- степенные средние величины;
- структурные средние величины;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсии (групповая, межгрулповая и общая) и среднее квадратическое отклонение;
относительные показатели вариации:
1) коэффициент осцилляции;
2) коэффициенты вариации (в том числе линейный);
3) коэффициенты детерминации (эмпирические и теоретические).
Размах вариации отражает пределы изменчивости признака или, другими словами, амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной величиной при знака (х) и минимальной величиной признака (х), т.е. по фор муле:
х - наибольшее значение признака;
х. - наименьшее значение признака.
Дисперсия - средний квадрат отклонений индивидуальньх значений признака от их средней величины:
Для вариационного ряда дисаерсия вычисляется по следующей формуле: (см. таблицу 2.)
Часто для исследования удобно представлять меру рассеяния в тех же единицах измерения, что и варианты. Тогда вместо дисперсии используют среднее квадратическое отклонение , которое является квадратным корнем из дисперсии, т.е. среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле: (см. таблицу 2)
Рассмотренные выше меры рассеявия (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) являются абсолютными величинами, судить по ним о степени колеблимости признака не всегда возможно, в некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния. Таким показателем является коэффициент вариации (V), который представляет собой отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:
Коэффициент вариации позволяет:
Сравнивать вариацию одного и того же признака у разных групп объектов;
Выявить степень различия одного и того же признака одной и той же группы объектов в разное время;
Сопоставить вариацию разных признаков у одних и тех групп объектов.
Если значение коэффициента вариации не превышает 33 то изучаемая совокупность считается однородной .
Рассмотрим на примере методику расчёта среднего квадратического отклонения и дисперсии признака.
ПРИМЕР 5 . В результате выборочной проверки расфасовки чая получены следующие данные:
Масса пачки чая, г. Число пачек чая, шт.
52 и выше 3
Исчислить среднюю массу пачки чая,среднее квадратическое отклонение,дисперсию признака.
Для расчёта используем формулы из таблицы 2.
Все расчёты желательно оформить в виде таблицы. Для определения середины интервала
В каждой группе,т.е. среднего значения,необходимо от интервального перейти к дискретному ряду. Величина интервала равна 1 (например,50 – 49 =1).Значит среднее значение для первой группы составит ((48 +49) /2 = 48,5 ;для второй и третьей групп соответственно 49,5 и 50,5 и т. д.
Масса Число Середина Х*f Х – Х (Х – Х) (Х – Х) * f
Многие сталкиваются с изменчивостью изучаемого признака у отдельных единиц совокупности, его колебанием относительно некоторого значения, то есть с его вариацией. Вот ее-то и следует обязательно учитывать, чтобы получить наиболее достоверные сведения о ходе выполнения того или иного научного исследования.
Большинство исследователей, производя определение интервала изменения значения того или иного параметра, чаще всего прибегают к абсолютным и Среди последних наибольшее распространение получил коэффициент вариации, который в случае, если исследуемая величина характеризуется нормальным распределением, является критерием однородности совокупности. Данный показатель позволяет определить, какую степень разбросанности будут иметь значения исследуемого параметра, не обращая внимания на масштаб и единицу измерения.
Коэффициент вариации можно вычислить, разделив на среднее арифметическое значение переменной, выраженное в процентах. Результат данного вычисления может попадать в интервал от нуля до бесконечности, возрастая по мере увеличения вариации признака. Если полученное значение менее 33,3% - вариация признака слабая. Если больше - сильная. В последнем случае исследуемая совокупность данных является неоднородной, ее признается нетипичной, а потому не может быть обобщающим показателем. Поэтому для данной совокупности стоит применить другие показатели.
Стоит отметить, что коэффициент вариации не только характеризует однородность некоторой совокупности, но также применяется в качестве сравнительной ее оценки. Например, его применяют, если необходимо колебания того или иного признака в совокупностях, для которых рассчитанная величина среднего значения различна. В этом случае разброс полученных данных не позволяет произвести объективную оценку обретенного значения. Коэффициент вариации характеризует относительную изменчивость переменной, а потому может являться относительной мерой колебания значения изучаемого параметра.
Однако здесь существуют некоторые ограничения. В частности, оценить степень колебания значений параметра можно лишь для конкретного признака и если совокупность имеет определенный состав. При этом равенство данных показателей может свидетельствовать как о сильной, так и о слабой вариации. Это в случае, если признаки различны или исследования проводятся на разных совокупностях. Такой результат формируется под действием весьма объективных причин, и это следует обязательно учитывать во время обработки полученных экспериментальных данных.
Коэффициент вариации находит широкое применение при проведении в различных отраслях науки и техники. В том числе, его активно задействуют при выполнении оценки колебания параметров в экономике и социологии. При этом применение коэффициента делается невозможным в случае, если необходимо дать оценку изменчивости переменных, которые способны менять свой знак на противоположный. Ведь тогда в результате расчетов будут получены некорректные значения данного показателя: либо оно будет очень маленьким, либо будет иметь отрицательный знак. В последнем случае стоит проверить правильности выполненных расчетов.
Таким образом, можно сказать, что коэффициент вариации - это параметр, который позволит вам оценить степень разброса и относительную изменчивость средней величины. Применение данного показателя позволяет выявить наиболее значимые факторы, акцентирование внимания на которых позволит достичь поставленных целей и решить необходимые задачи.
Из всех показателей вариации среднеквадратическое отклонение в наибольшей степени используется для проведения других видов статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель называется он коэффициент вариации .
Формула коэффициента вариации:
Данный показатель измеряется в процентах (если умножить на 100%).
В статистике принято, что, если коэффициент вариации
меньше 10%, то степень рассеивания данных считается незначительной,
от 10% до 20% - средней,
больше 20% и меньше или равно 33% - значительной,
значение коэффициента вариации не превышает 33%, то совокупность считается однородной,
если больше 33%, то – неоднородной.
Средние, рассчитанные для однородной совокупности – значимы, т.е. действительно характеризуют эту совокупность, для неоднородной совокупности – незначимы, не характеризуют совокупность из-за значительного разброса значений признака в совокупности.
Возьмем пример с расчетом среднего линейного отклонения.
И график для напоминания
По этим данным рассчитаем: среднее значение, размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и стандартное отклонение.
Среднее значение – это обычная средняя арифметическая.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом:
Среднее линейное отклонение считается по формуле:
Дисперсия считается по формуле:
Среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии:
Расчет сведем в табличку.
Вариация показателя отражает изменчивость процесса или явления. Ее степень может измеряться с помощью нескольких показателей.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом. Отражает диапазон возможных значений.
Среднее линейное отклонение – отражает среднее из абсолютных (по модулю) отклонений всех значений анализируемой совокупности от их средней величины.
Дисперсия – средний квадрат отклонений.
Среднеквадратическое отклонение – корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
Коэффициент вариации – наиболее универсальных показатель, отражающий степень разбросанности значений независимо от их масштаба и единиц измерения. Коэффициент вариации измеряется в процентах и может быть использован для сравнения вариации различных процессов и явлений.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих однородность явлений и устойчивость процессов. Часто показатели вариации не имеют самостоятельного смысла и используются для дальнейшего анализа данных. Исключением является коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, что является ценной статистической характеристикой.
Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.
Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.
В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.
Шаг 1: расчет стандартного отклонения
Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из . Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН . Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В .
Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:
СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)
Шаг 2: расчет среднего арифметического
Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ . Вычислим её значение на конкретном примере.
Шаг 3: нахождение коэффициента вариации
Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.
Таким образом мы произвели вычисление коэффициента вариации, ссылаясь на ячейки, в которых уже были рассчитаны стандартное отклонение и среднее арифметическое. Но можно поступить и несколько по-иному, не рассчитывая отдельно данные значения.
Существует условное разграничение. Считается, что если показатель коэффициента вариации менее 33%, то совокупность чисел однородная. В обратном случае её принято характеризовать, как неоднородную.
Как видим, программа Эксель позволяет значительно упростить расчет такого сложного статистического вычисления, как поиск коэффициента вариации. К сожалению, в приложении пока не существует функции, которая высчитывала бы этот показатель в одно действие, но при помощи операторов СТАНДОТКЛОН и СРЗНАЧ эта задача очень упрощается. Таким образом, в Excel её может выполнить даже человек, который не имеет высокого уровня знаний связанных со статистическими закономерностями.