ВходДеформация с наклонным смещением 4 буквы. Деформация растяжения. Виды деформации твердых тел
Не вдаваясь в теоретические основы физики процессом деформации твердого тела можно назвать изменение его формы под действием внешней нагрузки. Любой твердый материал имеет кристаллическую структуру с определенным расположением атомов и частиц, в ходе приложения нагрузки происходит смещение отдельных элементов или целых слоев относительно, другими словами возникают дефекты материалов .
Виды деформации твердых тел
Деформация растяжения — вид деформации, при которой нагрузка прикладывается продольно от тела, то есть соосно или параллельно точкам крепления тела. Проще всего растяжение рассмотреть на буксировочном тросе для автомобилей. Трос имеет две точки крепления к буксиру и буксируемому объекту, по мере начала движения трос выпрямляется и начинает тянуть буксируемый объект. В натянутом состоянии трос подвергается деформации растяжения, если нагрузка меньше предельных значений, которые может он выдержать, то после снятия нагрузки трос восстановит свою форму.
Схема растяжения образца
Деформация растяжения является одним из основных лабораторных исследований физических свойств материалов. В ходе приложения растягивающих напряжений определяются величины, при которых материал способен:
- воспринимать нагрузки с дальнейшим восстановлением первоначального состояния (упругая деформация)
- воспринимать нагрузки без восстановления первоначального состояния (пластическая деформация)
- разрушаться на пределе прочности
Данные испытания являются главными для всех тросов и веревок, которые используются для строповки, крепления грузов, альпинизма. Растяжение имеет значение также при строительстве сложных подвесных систем со свободными рабочими элементами.
Деформация сжатия — вид деформации, аналогичный растяжению, с одним отличием в способе приложения нагрузки, ее прикладывают соосно, но по направлению к телу. Сдавливание объекта с двух сторон приводит к уменьшению его длины и одновременному упрочнению, приложение больших нагрузок образовывает в теле материала утолщения типа «бочка».
Схема сжатия образца
В качестве примера можно привести тот же прибор что и в деформации растяжения немного выше.
Деформация сжатия широко используется в металлургических процессах ковки металла, в ходе процесса металл получает повышенную прочность и заваривает дефекты структуры. Сжатие также важно при строительстве зданий, все элементы конструкции фундамента, свай и стен испытывают давящие нагрузки. Правильный расчет несущих конструкций здания позволяет сократить расход материалов без потери прочности.
Деформация сдвига — вид деформации, при котором нагрузка прикладывается параллельно основанию тела. В ходе деформации сдвига одна плоскость тела смещается в пространстве относительно другой. На предельные нагрузки сдвига испытываются все крепежные элементы — болты, шурупы, гвозди. Простейший пример деформации сдвига - расшатанный стул, где за основание можно принять пол, а за плоскость приложения нагрузки - сидение.
Схема сдвига образца
Деформация изгиба — вид деформации, при котором нарушается прямолинейность главной оси тела. Деформации изгиба испытывают все тела подвешенные на одной или нескольких опорах. Каждый материал способен воспринимать определенный уровень нагрузки, твердые тела в большинстве случаев способны выдерживать не только свой вес, но и заданную нагрузку. В зависимости от способа приложения нагрузки при изгибе различают чистый и косой изгиб.
Схема изгиба образца
Значение деформации изгиба важно для проектирования упругих тел, таких, как мост с опорами, гимнастический брус, турник, ось автомобиля и другие.
Деформация кручения - вид деформации, при котором к телу приложен крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной плоскости оси тела. На кручение работают валы машин, шнеки буровых установок и пружины.
Схема кручения образца
Пластическая и упругая деформация
В процессе деформации важное значение имеет величина межатомных связей, приложение нагрузки достаточной для их разыва приводит к необратимым последствиям (необратимая или пластическая деформация ). Если нагрузка не превысила допустимых значений, то тело может вернуться в исходное состояние (упругая деформация ). Простейший пример поведения предметов, подверженных пластической и упругой деформацией, можно проследить на падении с высоты резинового мяча и куска пластилина. Резиновый мяч обладает упругостью, поэтому при падении он сожмется, а после превращения энергии движения в тепловую и потенциальную, снова примет первоначальную форму. Пластилин обладает большой пластичностью, поэтому при ударе о поверхность оно необратимо утратит свою первоначальную форму.
За счет наличия деформационных способностей все известные материалы обладают набором полезных свойств - пластичностью, хрупкостью, упругостью, прочностью и другими. Исследование этих свойств достаточно важная задача, позволяющая выбрать или изготовить необходимый материал. Кроме того, само по себе наличие деформации и его детектирование часто бывает необходимо для задач приборостроения, для этого применяются специальные датчики называемые экстензометрами или по другому тензометрами.
Деформация (англ. deformation ) - это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов.
На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие - с действием его нормальной составляющей.
Виды деформации
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
- Деформация растяжения;
- Деформация сжатия;
- Деформация сдвига (или среза);
- Деформация при кручении;
- Деформация при изгибе.
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.
ИЦМ(www.сайт)
В твёрдых телах, в частности - металлах, выделяют два основных вида деформаций - упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.
Деформация металла. Упругая и пластическая деформация
Влияние упругой (обратимой) деформации на форму, структуру и свойства тела полностью устраняется после прекращения действия вызвавших её сил (нагрузок), так как под действием приложенных сил происходит только незначительное смещение атомов или поворот блоков кристалла. Сопротивление металла деформации и разрушению называется прочностью. Прочность является первым требованием, предъявляемым к большинству изделий.
Модуль упругости - это характеристика сопротивления материалов упругой деформации. При достижении напряжениями так называемого предела упругости (или порога упругости ) деформация становится необратимой.
Пластическая деформация , остающаяся после снятия нагрузки, связана с перемещением атомов внутри кристаллов на относительно большие расстояния и вызывает остаточные изменения формы, структуры и свойств без макроскопических нарушений сплошности металла. Пластическую деформацию также называют остаточной или необратимой. Пластическая деформация в кристаллах может осуществляться скольжением и двойникованием .
ИЦМ(www.сайт)
Пластическая деформация металла . Для металлов характерно большее сопротивление растяжению или сжатию, чем сдвигу. Поэтому процесс пластической деформации металла обычно представляет собой процесс скольжения одной части кристалла относительно другой по кристаллографической плоскости или плоскостям скольжения с более плотной упаковкой атомов, где наименьшее сопротивление сдвигу. Скольжение осуществляется в результате перемещения в кристалле дислокаций. В результате скольжения кристаллическое строение перемещающихся частей не меняется.
Другим механизмом пластической деформации металла является двойникование . При деформации двойникованием напряжение сдвига выше, чем при скольжении. Двойники обычно возникают тогда, когда скольжение по тем или иным причинам затруднено. Деформация двойникованием обычно наблюдается при низких температурах и высоких скоростях приложения нагрузки.
Пластичность - это свойство твёрдых тел под действием внешних сил изменять, не разрушаясь, свою форму и размеры и сохранять остаточные (пластические) деформации после устранения этих сил. Отсутствие или малое значение пластичности называется хрупкостью. Пластичность металлов широко используется в технике.
Подготовлено: Корниенко А.Э. (ИЦМ)
Лит.:
ДЕФОРМАЦИЯ – изменение размеров, формы и конфигурации тела в результате действия внешних или внутренних сил (от лат. deformatio – искажение).
Твердые тела способны в течение длительного времени сохранять неизменной свою форму и объем, в отличие от жидких и газообразных. Это известное утверждение справедливо только «в первом приближении» и нуждается в уточнениях. Во-первых, многие тела, которые принято считать твердыми, с течением времени очень медленно «текут»: известен случай, когда гранитная плита (часть стенки) за несколько сот лет, вследствие осадки почвы, заметно изогнулась, следуя новому микрорельефу, причем без трещин и изломов (рис. 1). Было подсчитано, что характерная скорость перемещения при этом составляла 0,8 мм в год. Второе уточнение состоит в том, что все твердые тела изменяют свою форму и размеры, если на них действуют внешние нагрузки. Эти изменения формы и размеров называют деформациями твердого тела, причем деформации могут быть большими (например, при растяжении резинового шнура или при изгибе стальной линейки) или малыми, незаметными для глаза (например, деформации гранитного постамента при установке памятника).
С точки зрения внутреннего строения многие твердые тела являются поликристаллическими, т.е. состоят из мелких зерен, каждое из которых является кристаллом, имеющим решетку определенного типа. Стекловидные материалы и многие пластмассы не имеют кристаллической структуры, но их молекулы очень тесно связаны между собой и это обеспечивает сохранение формы и размеров тела.
Если на твердое тело действуют внешние силы (например, стержень растягивается двумя силами, рис. 2), то расстояния между атомами вещества увеличиваются, и с помощью приборов можно обнаружить увеличение длины стержня. Если нагрузки убрать, стержень восстанавливает прежнюю длину. Такие деформации называются упругими, они не превышают долей процента. При возрастании растягивающих сил может быть два исхода опыта: образцы из стекла, бетона, мрамора и т.д. разрушаются при наличии упругих деформаций (такие тела называются хрупкими). В образцах из стали, меди, алюминия наряду с упругими появятся пластические деформации, которые связаны с проскальзыванием (сдвигом) одних частиц материала относительно других. Величина пластических деформаций обычно составляет несколько процентов. Особое место среди деформируемых твердых тел занимают эластомеры – каучукоподобные вещества, допускающие огромные деформации: резиновую полоску можно вытянуть в 10 раз, без разрывов и повреждений, а после разгрузки первоначальный размер восстанавливается практически мгновенно. Деформация такого типа называется высокоэластической и связана с тем, что материал состоит из очень длинных полимерных молекул, свернутых в виде спиралей («винтовых лестниц») или гармошек, причем соседние молекулы образуют упорядоченную систему. Длинные многократно изогнутые молекулы способны распрямляться за счет гибкости атомных цепочек; при этом расстояния между атомами не меняются, и малые силы достаточны для получения больших деформаций за счет частичного распрямления молекул.
Тела деформируются под действием приложенных к ним сил, под влиянием изменения температуры, влажности, химических реакций, облучения нейтронами. Проще всего понять деформацию под действием сил – часто их называют нагрузками: балка, закрепленная по концам на опорах и нагруженная в середине, изгибается – деформация изгиба; при просверливании отверстия сверло испытывает деформацию кручения; когда мяч накачивают воздухом, он сохраняет шаровую форму, но увеличивается в размерах. Земной шар деформируется, когда по его поверхностному слою идет приливная волна. Даже эти простые примеры показывают, что деформации тел могут быть очень различными. Обычно детали конструкций в нормальных условиях испытывают малые деформации, при которых и форма их почти не изменяется. Наоборот, при обработке давлением – при штамповке или прокатке – происходят большие деформации, в результате которых форма тела существенно изменяется; например, из цилиндрической заготовки получается стакан или даже деталь очень сложной формы (при этом заготовку часто нагревают, что облегчает процесс деформирования).
Самым простым для понимания и математического анализа является деформирование тела при малых деформациях. Как это принято в механике, рассматривается некоторая произвольно выбранная точка М тела.
Перед началом процесса деформирования мысленно выделяется малая окрестность этой точки, имеющая простую форму, удобную для изучения, например, шар радиуса D R или куб со стороной D a , причем так, чтобы точка M оказалась центром этих тел.
Несмотря на то, что тела различной формы под влиянием внешних нагрузок и других причин получают весьма разнообразные деформации, оказывается, что малая окрестность любой точки деформируется по одному и тому же правилу (закону): если малая окрестность точки M имела форму шара, то после деформации она становится эллипсоидом; аналогично, куб становится косым параллелепипедом (обычно говорят, что шар переходит в эллипсоид, а куб – в косой параллелепипед). Именно это обстоятельство одинаково во всех точках: эллипсоиды в разных точках, конечно, получаются разными и по-разному повернутыми. То же касается и параллелепипедов.
Если в недеформированной сфере мысленно выделить радиальное волокно, т.е. материальные частицы, расположенные на некотором радиусе, и проследить за этим волокном в процессе деформирования, то обнаруживается, что это волокно все время остается прямым, но изменяет свою длину – удлиняется или укорачивается. Важную информацию можно получить следующим образом: в недеформированной сфере выделяются два волокна, угол между которыми – прямой. После деформации угол, вообще говоря, станет отличным от прямого. Изменение прямого угла называется сдвиговой деформацией или сдвигом. Суть этого явления удобнее рассмотреть на примере кубической окрестности, при деформации которой квадратная грань переходит в параллелограмм – этим объясняется название сдвиговой деформации.
Можно сказать, что деформация окрестности точки M известна полностью, если для любого радиального волокна, выбранного до деформации, можно найти его новую длину, и для двух любых таких взаимно перпендикулярных волокон – угол между ними после деформации.
Отсюда следует вывод, что деформация окрестности известна, если известны удлинения всех волокон и все возможные сдвиги, т.е. требуется бесконечно большое количество данных. На самом деле деформация частицы происходит очень упорядоченно – ведь шар переходит в эллипсоид (а не разлетается на кусочки и не превращается в нить, которая завязывается узлами). Эта упорядоченность выражается математически теоремой, суть которой состоит в том, что удлинения любого волокна и сдвиг для любой пары волокон можно вычислить (причем довольно просто), если известны удлинения трех взаимно перпендикулярных волокон и сдвиги – изменения углов между ними. И конечно, суть дела совершенно не зависит от того, какая форма выбрана для частицы – шаровая, кубическая или какая-нибудь еще.
Для более конкретного и более строгого описания картины деформации вводится система координат (например, декартовых) OXYZ , выбирается в теле некоторая точка M и ее окрестность в виде куба с вершиной в точке M , ребра которого параллельны осям координат. Относительное удлинение ребра, параллельного оси OX , –e xx (В этом обозначении индекс x повторен дважды: так принято обозначать элементы матриц).
Если рассматриваемое ребро куба имело длину a , то после деформации его длина изменится на величину удлинения D a x , при этом относительное удлинение, введенное выше, выразится как
e xx = D a x / a
Аналогичный смысл имеют величины e yy и e zz .
Для сдвигов принимаются следующие обозначения: изменение первоначально прямого угла между ребрами куба, параллельными осями OX и OY , обозначается как 2e xy = 2e yx (здесь коэффициент «2» вводится для удобства в дальнейшем, как если бы диаметр некой окружности обозначался 2r ).
Таким образом, введено 6 величин, а именно три деформации удлинения:
e xx e yy e zz
и три деформации сдвига:
e yx = e xy e zy = e yz e zx = e xz
Эти 6 величин называют компонентами деформации, при этом в это определение вкладывается тот смысл, что через них выражается любая деформация удлинения и сдвига в окрестности данной точки (часто говорят сокращенно – просто «деформация в точке»).
Компоненты деформации можно записать в виде симметричной матрицы
Эта матрица называется тензором малых деформаций, записанным в системе координат OXYZ . В другой системе координат с тем же началом этот же тензор будет выражаться другой матрицей, с компонентами
Оси координат новой системы составляют с осями координат старой системы набор углов, косинусы которых удобно обозначить так, как это сделано в следующей таблице:
Тогда выражение компонент тензора деформации в новых осях (т.е. e ´ xx ,…, e ´ xy ,…) через компоненты тензора деформаций в старых осях, т.е. через e xx,…, e xy ,…, имеют вид:
Эти формулы, по существу, являются определением тензора в следующем смысле: если некоторый объект описывается в системе OXYZ матрицей e ij , а в другой системе OX ´Y ´Z ´ – другой матрицей e ij ´, то он называется тензором, если имеют место приведенные выше формулы, которые называются формулами преобразования компонент тензора второго ранга к новой системе координат. Здесь, для краткости, матрица обозначена символом e ij , где индексы i , j соответствуют любому попарному сочетанию индексов x , y , z ; существенно, что индексов обязательно два. Число индексов называется рангом тензора (или его валентностью). В этом смысле вектор оказывается тензором первого ранга (его компоненты имеют один индекс), а скаляр можно рассматривать как тензор нулевого ранга, не имеющий индексов; в любой системе координат скаляр имеет, очевидно, то же самое значение.
Первый тензор в правой части равенства называется шаровым, второй – девиатором (от лат. deviatio – искажение), т.к. он связан с искажениями прямых углов – сдвигами. Название «шаровой» связано с тем, что матрица этого тензора в аналитической геометрии описывает сферическую поверхность.
Владимир Кузнецов
Частицы, из которых состоят твердые тела (как аморфные, так и кристаллические) постоянно совершают тепловые колебания около положений равновесия. В таких положениях энергия их взаимодействия минимальная. Если расстояние между частицами уменьшается, начинают действовать силы отталкивания, а если увеличиваться – то силы притяжения. Именно этими двумя силами обусловлены все механические свойства, которыми обладают твердые тела.
Определение 1
Если твердое тело изменяется под воздействием внешних сил, то частицы, из которых оно состоит, меняют свое внутреннее положение. Такое изменение называется деформацией .
Различают деформации нескольких видов. На изображении показаны некоторые из них.
Рисунок 3 . 7 . 1 . Некоторые виды деформаций твердых тел: 1 – деформация растяжения; 2 – деформация сдвига; 3 – деформация всестороннего сжатия.
Первый вид – растяжение или сжатие – является наиболее простым видом деформации. В таком случае изменения, происходящие с телом, можно описать при помощи абсолютного удлинения Δ l , которое происходит под действием сил, обозначаемых F → . Взаимосвязь, существующая между силами и удлинением, обусловлена геометрическими размерами тела (в первую очередь толщиной и длиной), а также механическими свойствами вещества.
Определение 2
Если мы разделим величину абсолютного удлинения на первоначальную длину твердого тела, мы получим величину его относительного удлинения (относительной деформации).
Обозначим этот показатель ε и запишем следующую формулу:
Определение 3
Относительная деформация тела растет при его растяжении и соответственно уменьшается при сжатии.
Если учесть, в каком именно направлении внешняя сила действует на тело, то мы можем записать, что F будет больше нуля при растяжении и меньше нуля при сжатии.
Определение 4Механическое напряжение твердого тела σ – это показатель, равный отношению модуля внешней силы к площади сечения твердого тела.
Величину механического напряжения принято выражать в паскалях (П а) и измерять в единицах давления.
Важно понимать, как именно механическое напряжение и относительная деформация связаны между собой. Если отобразить их взаимоотношения графически, мы получим так называемую диаграмму растяжения. При этом нам нужно отмерить величину относительной деформации по оси x , а механическое напряжение – по оси y . На рисунке ниже представлена диаграмма растяжения, типичная для меди, мягкого железа и некоторых других металлов.
Рисунок 3 . 7 . 2 . Типичная диаграмма растяжения для пластичного материала. Голубая полоса – область упругих деформаций.
В тех случаях, когда деформация твердого тела меньше 1 % (малая деформация), то связь между относительным удлинением и механическим напряжением приобретает линейный характер. На графике это показано на участке O a . Если напряжение снять, то деформация исчезнет.
Определение 5
Деформация, исчезающая при снятии напряжения, называется упругой .
Линейный характер связи сохраняется до определенного предела. На графике он обозначен точкой a .
Определение 6
Предел пропорциональности – это наибольшее значение σ = σ п р, при котором сохраняется линейная связь между показателями σ и ε .
На данном участке будет выполняться закон Гука:
В формуле содержится так называемый модуль Юнга, обозначенный буквой E .
Если мы продолжим увеличивать напряжение на твердое тело, то линейный характер связи нарушится. Это видно на участке a b . Сняв напряжение, мы также увидим практически полное исчезновение деформации, то есть восстановление формы и размеров тела.
Предел упругости
Определение 7Предел упругости – максимальное напряжение, после снятия которого тело восстановит свою форму и размер.
После перехода этого предела восстановления первоначальных параметров тела уже не происходит. Когда мы снимаем напряжение, у тела остается так называемая остаточная (пластическая) деформация.
Определение 8
Обратите внимание на участок диаграммы b c , где напряжение практически не увеличивается, но деформация при этом продолжается. Это свойство называется текучестью материала .
Предел прочности
Определение 9Предел прочности – максимальное напряжение, которое способно выдержать твердое тело, не разрушаясь.
В точке e материал разрушается.
Определение 10
Если диаграмма напряжения материала имеет вид, соответствующий тому, что показан на графике, то такой материал называется пластичным . У них обычно деформация, при которой происходит разрушение, заметно больше области упругих деформаций. К пластичным материалам относится большинство металлов.
Определение 11
Если материал разрушается при деформации, которая превосходит область упругих деформаций незначительно, то он называется хрупким . Такими материалами считаются чугун, фарфор, стекло и др.
Деформация сдвига имеет аналогичные закономерности и свойства. Ее отличительная особенность состоит в направлении вектора силы: он направлен по касательной относительно поверхности тела. Для поиска величины относительной деформации нам нужно найти значение Δ x l , а напряжения – F S (здесь буквой S обозначена та сила, которая действует на единицу площади тела). Для малых деформаций действует следующая формула:
∆ x l = 1 G F S
Буквой G в формуле обозначен коэффициент пропорциональности, также называемый модулем сдвига. Обычно для твердого материала он примерно в 2 - 3 раза меньше, чем модуль Юнга. Так, для меди E = 1 , 1 · 10 11 Н / м 2 , G = 0 , 42 · 10 11 Н / м 2 .
Когда мы имеем дело с жидкими и газообразными веществами, то важно помнить, что у них модуль сдвига равен 0 .
При деформации всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость, механическое напряжение будет совпадать с давлением жидкости (p) . Чтобы вычислить относительную деформацию, нам нужно найти отношение изменения объема Δ V к первоначальному объему V тела. При малых деформациях
Буквой B обозначен коэффициент пропорциональности, называемый модулем всестороннего сжатия. Такому сжатию можно подвергнуть не только твердое тело, но и жидкость и газ. Так, у воды B = 2 , 2 · 10 9 Н / м 2 , у стали B = 1 , 6 · 10 11 Н / м 2 . В Тихом океане на глубине 4 к м давление составляет 4 · 10 7 Н / м 2 , а относительно изменения объема воды 1 , 8 % . Для твердого тела, изготовленного из стали, значение этого параметра равно 0 , 025 % , то есть оно меньше в 70 раз. Это подтверждает, что твердые тела благодаря жесткой кристаллической решетке обладают гораздо меньшей сжимаемостью по сравнению с жидкостью, в которой атомы и молекулы связаны между собой не так плотно. Газы могут сжиматься еще лучше, чем тела и жидкости.
От значения модуля всестороннего сжатия зависит скорость, с которой звук распространяется в данном веществе.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Может оказаться, что изображения, реально нами наблюдаемые, точно соответствуют изображениям алгебры Это обстоятельство упростит анализ. Ряд аналогичных ситуаций будет рассмотрен в части III (см. приложение).
Следует, однако, заметить, что в большинстве случаев мы можем наблюдать лишь искаженные варианты идеальных изображений в результате мы сталкиваемся с фундаментальной проблемой - каким образом возникают подобные деформации. Полный синтез образа требует определения механизма деформации. Оно необходимо также и на стадии анализа.
Обозначим через отображение алгебры изображений на множество изображений, которые могут наблюдаться. Элементы
будем называть деформированными изображениями.
Обычно число преобразований велико и заранее неизвестно, какое именно будет действовать. Символ Ф используется для обозначения множества всех преобразований.
До сих пор мы ничего не сказали о природе деформированных изображений. Простейшим является случай когда изображения относятся к тому же типу, что и идеальные изображения алгебры изображений В этом случае будем говорить об автоморфных деформациях, отображает алгебру изображений в самое себя.
В противном случае, при гетероморфных деформациях, множество может включать целый ряд различных типов, как мы убедимся в этой главе. Может оказаться, что также обладает структурой алгебры изображений, хотя и отличной от Следует подчеркнуть, что даже и в таком случае структуры эти могут резко отличаться и, следовательно, между существует принципиальное различие. Довольно часто мы будем сталкиваться со случаем при котором идеальные (недеформированные) изображения являются частными
случаями деформированных. Как правило, разрушает структуру, и поэтому будет менее структурированной, чем
В случае, когда а область определения часто будет расширяться от до причем область значений будет оставаться равной . В таком случае можно многократно применять последовательность и, естественно, обобщить до полугруппы преобразований.
Во многих случаях можно будет также расширять область определения преобразований подобия до Все сказанное можно объединить в виде условия, которое ниже в большинстве случаев будет выполняться. В данном разделе будем предполагать, что образует группу.
Определение 4.1.1. Механизм деформации называется регулярным, если
Автоморфные деформации представляют собой весьма частный случай регулярного множества Ф. Оба типа преобразований, будут определяться на одном и том же множестве. Их роли, однако, совершенно различны. Преобразования подобия обычно изменяют изображение систематически, и эти изменения интуитивно понятны. В тех случаях, когда группа, преобразования не приводят к потере информации, так как обратное преобразование восстанавливает исходное изображение. Деформации же, с другой стороны, могут исказить изображение до такой степени, что будет невозможно точно восстановить его. Деформации приводят к потере информации.
Взаимодействие преобразований подобия и деформаций играет существенную роль, и в связи с этим мы введем два свойства, выполнение которых существенно упрощает анализ образов.
Определение 4.1.2. Рассмотрим регулярный механизм деформации на алгебре изображений. Будем называть его
Следует заметить, что это жесткие условия и выполняются они не очень часто. Естественно, деформации явно ковариантны, если Ф - коммутативная полугруппа и Другой простой случай возникает, когда векторное пространство, образуется определенными на нем линейными операторами; при таких условиях деформации являются гомоморфными.
Пусть - метрическое пространство с расстоянием, удовлетворяющим следующим условиям:
Если влечет расстояние является определенным, однако это допущение будет вводиться не всегда.
Естественно потребовать, чтобы метрика соответствовала отношениям подобия в и обеспечиваться это будет двумя способами.
Определение 4.1.3. Будем называть расстояние определенное на регулярном
Исходя из заданного расстояния определим
В таком случае легко убедиться в том, что расстояние инвариантно, а расстояние полиостью инвариантно.
Иногда в основе деформации будет лежать некий физический механизм, реализация которого сопряжена с затратами мощности, энергии или какой-либо аналогичной физической величины, необходимой для преобразования идеального изображения в реально наблюдаемую форму. Мы воспользуемся более нейтральным термином и будем говорить о необходимом усилии,
Определение 4.1.4. Рассмотрим на регулярном пространстве деформации неотрицательную функцию обладающую следующими свойствами:
функция называется инвариантной функцией усилия. Если выполняется условие и условие
Если 3.5 - ковариантио, то условие выполняется автоматически. В результате приходим к следующей теореме:
Теорема 4.1.1. Пусть функция усилия является полностью инвариантной, и выполняется равенство
В таком случае является полностью инвариантным расстоянием.
Замечание. Мы молчаливо подразумевали, что соотношение рассматриваемое как уравнение относительно всегда имеет хотя бы одно решение. Если это не так, то соответствующее значение следует заменить на и может оказаться необходимым допустить значение для итогового расстояния. Это обстоятельство повлияет на доказательство лишь в незначительной степени.
Доказательство. Функция является симметрической относительно двух своих аргументов, и для доказательства неравенства треугольника рассмотрим фиксированные Если существуют такие, что
то, обозначив получаем
Отсюда на основании свойства определения 4.1.4 следует, что
откуда в свою очередь следует, что
Наконец, полная инвариантность получается из свойства определения 4.1.4, так как влечет т. е. Это означает, что расстояние является полностью инвариантным.
Если бы мы работали с функцией усилия обладающей лишь инвариантностью, то можно было бы утверждать только то, что результирующее расстояние инвариантно.
Введем вероятностную меру Р на некоторой -алгебре подмножеств . Это означет, что мы будем говорить о некоторых деформациях как более вероятных, чем другие. Нам также потребуются -алгебры и на Т и соответственно, такие, чтобы для любого подмножества Е в и для которых выполняется условие и соответственно, было справедливо
Для определенного деформированный аналог будет иметь на вероятностную меру
Введем теперь более общий и более интересный вариант ковариантных деформаций.
Определение 4.1.5. Регулярные деформации с вероятностной мерой Р называются ковариантными по вероятности, если для всякого преобразования подобия преобразования имеют на одно и то же распределение вероятностей.
В тех случаях, когда деформация сужает образ-соответствие на случайное подмножество Е (но не его значения), мы будем интерпретировать ковариантность по вероятности как равенство распределения вероятностей на множестве распределению вероятностей на случайном множестве Е.
При использовании этого определения для любого фиксированного можно записать, что
С другой стороны, если сотношение (4.1.12) выполняется для любых и Е, то деформации являются ковариантными по вероятности.
Важное следствие ковариантности по вероятности устанавливается следующей теоремой:
Теорема 4.1.2. Пусть деформации ковариантны по вероятности и образ, состоящий из классов эквивалентности по модулю
В таком случае, если Е представляет собой -инвариантное множество в то условные вероятности являются вполне определенными: не зависит от если .
Доказательство. Рассмотрим условную вероятность
где -некоторый прототип (см. (3.1.14)). В таком случае
ввиду того, что имеет место ковариантность по вероятности. С другой стороны,
так как Е является -инвариантным. Следовательно, константа, так что условная вероятность действительно является вполне определенной, поскольку она не зависит от того, какое изображение служит исходным при рассмотрении образа .
В противном случае нельзя было бы говорить о если, конечно, не ввести также вероятностную меру на алгебре идеальных изображений
К обсуждению, проведенному в данном разделе, следует добавить, что желательно выбирать алгебраическую, топологическую и вероятностную структуры таким образом, чтобы они допускали естественное взаимное согласование. Читатель, интересующийся тем, как это может быть сделано в рамках стандартной алгебраическо-топологической постановки, может обратиться к монографии автора (1963).
При выборе конкретного вида Р мы сталкиваемся с большими трудностями, чем те, которые связаны с теоретическими
аспектами меры. Выбор должен производиться в каждом случае отдельно таким образом, чтобы, используя доступные сведения из соответствующей предметной области, обеспечить достижение естественного компромисса: модель должна обеспечить достаточно точную аппроксимацию изучаемых явленнй и допускать в то же время возможность аналитического или численного решения. Тем не менее можно сформулировать несколько общих принципов, которые могут оказаться полезными при построении модели деформаций.
Во-первых, следует попытаться разложить , которое может быть довольно сложным пространством, на простые факторы Произведение может быть конечным, счетным или несчетным, как мы убедимся ниже. Иногда такое разбиение задается непосредственно, как, например, в случае, когда деформации сводятся к топологическому преобразованию опорного пространства, за которым следует деформация маски. Некоторую пользу можно извлечь также из того способа, при помощи которого алгебры изображений построены из элементарных объектов. Если рассматриваются изображения, конфигурации которых включают образующих, и все они идентифицируемы, то можно попробовать воспользоваться представлением
рассчитывая на то, что свойства факторов окажутся достаточно удобными. Этот метод будет работать, однако, только в том случае, когда образующие однозначно определяются изображением. Вместо этого можно попробовать воспользоваться соответствующим разбиением в применении к каноническим конфигурациям, образующие которых определены в рассматриваемой алгебре изображений.
После разделения на достаточно простые факторы необходимо решить, какую вероятностную меру следует ввести на При этом существенным моментом является выбор такого способа факторизации деформаций, при котором отдельные факторы оказываются независимыми друг от друга. Невозможно полностью задать Р, не располагая эмпирической информацией, и для того чтобы получить оценки с удовлетворительной точностью, аксиоматическая модель должна быть в достаточной степени структурирована. Это критический момент для определения Р, и здесь требуется такое понимание механизма деформации, которое исключит неадекватное представление данных при последующем анализе. Если нам действительно удалось провести разбиение таким образом, что факторы в вероятностном смысле независимы, остается еще решить задачу
определения на них безусловных распределении. В качестве примера рассмотрим идеальные образующие, порождаемые механизмом типа где можно рассматривать как разностный оператор, а деформированные образующие определяются выражением Первое, что следует попробовать - это допустить независимость значений различных аргументах). Если это не может быть принято в качестве адекватной аппроксимации, стоило бы попытаться устранить зависимость посредством работы не с а с некоторым ее преобразованием (например, линейным). Другими словами, можно выбирать модель таким образом, чтобы деформации принимали простую вероятностную форму. Отметим в качестве еще одного примера, что при работе с образами-соответствиями (см. разд. 3.5) и дискретным опорным пространством X можно попытаться промоделировать Р исходя из предположения о том, что различные точки X отображаются на опорное пространство независимо и что соответствующие распределения различны.
Для того чтобы сузить выбор безусловных распределений, рассмотрим роль преобразований подобия. Если, как и выше, выбрано удачно, то можно рассчитывать, что Р будет обладать соответствующей инвариантностью. Итак, если подобные идеальные изображения и то в первую очередь следует выяснить, не обладают ли одним и тем же распределением вероятностей. Можно также использовать другой подход: попробовать модель, постулирующую равенство распределений вероятностей этот путь приводит нас к ковариантности по вероятности.
С помощью этих методов можем определить аналитическую форму Р, и оценки свободных параметров получить эмпирически.
Механизмы деформации будут классифицироваться на основе двух критериев: уровня и типа.
Под уровнем механизма деформации мы будем подразумевать тот этап синтеза образов изображений, на котором определяется Высший уровень, уровень изображений, соответствует тому случаю, когда