Интервальный вариационный ряд. Группировка данных и построение ряда распределения

Практическое занятие 1

ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вариационным рядом или рядом распределения называют упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существует 3 вида ряда распределения:

1) ранжированный ряд – это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака; если численность единиц совокупности достаточно велика ранжированный ряд становится громоздким, и в таких случаях ряд распределения строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака (если признак принимает небольшое число значений, то строится дискретный ряд, а в противном случае – интервальный ряд);

2) дискретный ряд – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – конкретных значений варьирующего признака X i и числа единиц совокупности с данным значением признака f i – частот; число групп в дискретном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака;

3) интервальный ряд – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – интервалов варьирующего признака X i и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа в общей численности совокупностей (частостей).

Числа, показывающие, сколько раз отдельные варианты встречаются в данной совокупности, называются частотами или весами вариант и обозначаются строчной буквой латинского алфавита f . Общая сумма частот вариационного ряда равна объему данной совокупности, т. е.

где k – число групп, n – общее число наблюдений, или объем совокупности.

Частоты (веса) выражают не только абсолютными, но и от­носительными числами – в долях единицы или в процентах от общей численности вариант, составляющих данную совокуп­ность. В таких случаях веса называют относительными частотами или частостями. Общая сумма частностей равна единице

или
,

если частоты выражены в про­центах от общего числа наблюдений п. Замена частот частостями не обязательна, но иногда оказывается полезной и даже необхо­димой в тех случаях, когда приходится сопоставлять друг с дру­гом вариационные ряды, сильно отличающиеся по их объемам.

В зависимости от того, как варьирует признак – дискретно или непрерывно, в широком или узком диапазоне, – статистиче­ская совокупность распределяется в безынтервальный или интер­вальный вариационные ряды. В первом случае частоты относятся непосредственно к ранжированным значениям признака, которые приобретают положение отдельных групп или классов вариаци­онного ряда, во втором – подсчитывают частоты, относящиеся к отдельным промежуткам или интервалам (от – до), на которые разбивается общая вариация признака в пределах от минималь­ной до максимальной варианты данной совокупности. Эти проме­жутки, или классовые интервалы, могут быть равными и не рав­ными по ширине. Отсюда различают равно- и неравноинтервальные вариационные ряды. В неравноинтервальных рядах характер распределения час­тот меняется по мере изменения ширины классовых интервалов. Неравноинтервальную группировку в биологии применяют сравнительно редко. Как правило, биометрические данные рас­пределяются в равноинтервальные ряды, что позволяет не только выявлять закономерность варьирования, но и облегчает вычисле­ние сводных числовых характеристик вариационного ряда, сопо­ставление рядов распределения друг с другом.

Приступая к построению равноинтервального вариационного ряда, важно правильно наметить ширину классового интервала. Дело в том, что грубая группировка (когда устанавливают очень широкие классовые интервалы) искажает типичные черты варьи­рования и ведет к снижению точности числовых характеристик ряда. При выборе чрезмерно узких интервалов точность обобщающих числовых характеристик повышается, но ряд получается слишком растянутым и не дает четкой картины варьирования.

Для получения хорошо обозримого вариационного ряда и обеспечения достаточной точности вычисляемых по нему числовых характеристик следует разбить вариацию признака (в пределах от минимальной до максимальной варианты) на такое число групп или классов, которое удовлетворяло бы обоим требо­ваниям. Эту задачу решают делением размаха варьирования признака на число групп или классов, намечаемых при построе­нии вариационного ряда:

,

где h – величина интервала; X м a x и X min – максимальное и минимальное значения в совокупности; k – число групп.

При построении интервального ряда распределения необходимо выбирать оптимальное число групп (интервалов признака) и установливать длину (размах) интервала. Поскольку при анализе ряда распределения сравнивают частоты в разных интервалах, необходимо, чтобы длина интервалов была постоянной. Если приходится иметь дело с интервальным рядом распределения с неравными интервалами, то для сопоставимости нужно частоты или частости привести к единице интервала, полученное значение называется плотностью ρ , то есть
.

Оптимальное число групп выбирается так, чтобы достаточной мере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и в то же время закономерность распределении, его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Если групп будет слишком мало, не проявится закономерность вариации; если групп будет чрезмерно много, случайные скачки частот исказят форму распределения.

Чаще всего число групп в ряду распределения определяют по формуле Стерждесса:

где n – численность совокупности.

Существенную помощь в анализе ряда распределения и его свойств оказывает графическое изображение. Интервальный ряд изображается столбиковой диаграммой, в которой основания столбиков, расположенные по оси абсцисс, – это интервалы значений варьирующего признака, а высоты столбиков – частоты, соответствующие масштабу по оси ординат. Диаграмма такого типа называется гистограммой.

Если имеется дискретный ряд распределения или используются середины интервалов, то графическое изображение такого ряда называется полигоном , которое получается соединением прямыми точек с координатами X i и f i .

Если по оси абсцисс откладывать значения классов, а по оси ординат – накопленные частоты с последующим соединени­ем точек прямыми линиями, получается график, называемый кумулятой. Накопленные частоты находят последо­вательным суммированием, или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда.

Пример . Имеются данные о яйценоскости 50 кур-несушек за 1 год, содер­жащихся на птицеферме (табл. 1.1).

Т а б л и ц а 1.1

Яйценоскость кур-несушек

№ курицы-несушки	Яйценоскость, шт.	№ курицы-несушки	Яйценоскость, шт.	№ курицы-несушки	Яйценоскость, шт.	№ курицы-несушки	Яйценоскость, шт.	№ курицы-несушки	Яйценоскость, шт.

Требуется построить интервальный ряд распределения и отобразить его графически в виде гистограммы, полигона и кумуляты.

Видно, что признак варь­ирует от 212 до 245 яиц, полученных от несушки за 1 год.

В нашем примере по формуле Стерждесса определим число групп:

k = 1 + 3,322lg 50 = 6,643 ≈ 7.

Рассчитаем длину (размах) интервала по формуле:

.

Построим интервальный ряд с 7 группами и интервалом 5 шт. яиц (табл. 1.2). Для построения графиков в таблице рассчитаем середину интервалов и накопленную частоту.

Т а б л и ц а 1.2

Интервальный ряд распределения яйценоскости

	Группа кур-несушек по величине яйценоскости X i	Число кур-несушек f i	Середина интервала Х i ’	Накопленная частота f i ’

Построим гистограмму распределения яйценоскости (рис. 1.1).

Р и с. 1.1. Гистограмма распределения яйценоскости

Данные гистограммы показывают характерную для многих признаков форму распределения: чаще встречаются значения средних интервалов признака, реже – крайние (малые и большие) значения признака. Форма этого распределения близка к нормальному закону распределения, которое образуется, если на варьирующую переменную влияет большое число факторов, ни один из которых не имеет преобладающего значения.

Полигон и кумулята распределения яйценоскости имеют вид (рис. 1.2 и 1.3).

Р и с. 1.2. Полигон распределения яйценоскости

Р и с. 1.3. Кумулята распределения яйценоскости

Технология решения задачи в табличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 1.4.

2. Ранжируйте ряд.

2.1. Выделите ячейки А2:А51.

2.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Сортировка по возрастанию > .

3. Определите величину интервала для построения интервального ряд распределения.

3.1. Скопируйте ячейку А2 в ячейку Е53.

3.2. Скопируйте ячейку А51 в ячейку Е54.

3.3. Рассчитайте размах вариации. Для этого введите в ячейку Е55 формулу =E54-E53 .

3.4. Рассчитайте число групп вариации. Для этого введите в ячейку Е56 формулу =1+3,322*LOG10(50) .

3.5. Введите в ячейку Е57 округленное число групп.

3.6. Рассчитайте длину интервала. Для этого введите в ячейку Е58 формулу =E55/E57 .

3.7. Введите в ячейку Е59 округленную длину интервала.

4. Постройте интервальный ряд.

4.1. Скопируйте ячейку Е53 в ячейку В64.

4.2. Введите в ячейку В65 формулу =B64+$E$59 .

4.3. Скопируйте ячейку В65 в ячейки В66:В70.

4.4. Введите в ячейку С64 формулу =B65 .

4.5. Введите в ячейку С65 формулу =C64+$E$59 .

4.6. Скопируйте ячейку С65 в ячейки С66:С70.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.5).

5. Рассчитайте частоту интервалов.

5.1. Выполните команду Сервис , Анализ данных , щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

5.2. В диалоговом окне Анализ данных с помощью левой кнопки мыши установите: Инструменты анализа  <Гистограмма> (рис. 1.6).

5.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5.4. На вкладке Гистограмма установите параметры в соответствии с рис. 1.7.

5.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.8).

6. Заполните таблицу «Интервальный ряд распределения».

6.1. Скопируйте ячейки В74:В80 в ячейки D64:D70.

6.2. Рассчитайте сумму частот. Для этого выделите ячейки D64:D70 и щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Автосумма > .

6.3. Рассчитайте середину интервалов. Для этого введете в ячейку Е64 формулу =(B64+C64)/2 и скопируйте в ячейки Е65:Е70.

6.4. Рассчитайте накопленные частоты. Для этого скопируйте ячейку D64 в ячейку F64. В ячейку F65 введите формулу =F64+D65 и скопируйте в ячейки F66:F70.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.9).

7. Отредактируйте гистограмму.

7.1. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме на названии «карман» и на появившейся вкладке нажмите кнопку <Очистить>.

7.2. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме и на появившейся вкладке нажмите кнопку <Исходные данные>.

7.3. В диалоговом окне Исходные данные измените подписи оси Х. Для этого выделите ячейки В64:С70 (рис. 1.10).

7.5. Нажмите клавишу .

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.11).

8. Постройте полигон распределения яйценоскости.

8.1. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Мастер диаграмм > .

8.2. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4) с помощью левой кнопки мыши установите: Стандартные  <График> (рис. 1.12).

8.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.4. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 1.13.

8.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.6. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4) введите названия диаграммы и ос Y (рис. 1.14).

8.7. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.8. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 1.15.

8.9. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Готово>.

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.16).

9. Вставьте на графике подписи данных.

9.1. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме и на появившейся вкладке нажмите кнопку <Исходные данные>.

9.2. В диалоговом окне Исходные данные измените подписи оси Х. Для этого выделите ячейки Е64:Е70 (рис. 1.17).

9.3. Нажмите клавишу .

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 1.18).

Кумулята распределения строится аналогично полигону распределения на основе накопленных частот.

Описание изменений варьирующего признака осуществляется с помощью рядов распределения.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц статистической совокупности на отдельные группы по определенному варьирующему признаку.

Статистические ряды, построенные по качественному признаку называют атрибутивными . Если в основе ряда распределения лежит количественный признак, то ряд является вариационным .

В свою очередь вариационные ряды делят на дискретные и интервальные. В основе дискретного ряда распределения лежит дискретный (прерывный) признак, принимающий конкретные числовые значения (число правонарушений, число обращений граждан за юридической помощью). Интервальный ряд распределения строится на основе непрерывного признака, который может принимать любые значения из заданного диапазона (возраст осужденного, срок лишения свободы и т.д.)

Любой статистический ряд распределения содержит два обязательных элемента – варианты ряда и частоты. Варианты (x i ) – отдельные значения признака, которые он принимает в ряду распределения. Частоты (f i ) – это числовые значения, показывающие сколько раз встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности.

Частоты, выраженные в относительных единицах (долях или процентах) называются частостями (w i ). Сумма частостей равна единице, если Частости выражены в долях единицы, или 100, если они выражаются в процентах. Использование частостей позволяет производить сравнение вариационных рядов с разным объемом совокупности. Частости определяются по следующей формуле:

Для построения дискретного ряда ранжируются все встречающиеся в ряду индивидуальные значения признака, а затем подсчитываются частоты повторений каждого значения. Оформляется ряд распределения в идее таблицы, состоящей из двух строк и столбцов, в одной из которых приводятся значения вариантов ряда x i , во второй – значения частот f i .

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 3.1 . По данным УМВД зарегистрировано преступлений, совершенных в городе N несовершеннолетними в возрасте.

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

Построить дискретный ряд распределения.

Решение .

Сначала необходимо проранжировать данные о возрасте несовершеннолетних, т.е. записать их в порядке возрастания.

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

Таблица 3.1

Таким образом, частоты отображают количество человек данного возраста, например, 5 человек имеют возраст 13 лет, 8 человек – 14 лет, и т.д.

Построение интервальных рядов распределения осуществляют аналогично выполнению равноинтервальной группировки по количественному признаку, то есть вначале определяют оптимальное число групп, на которые будет разбита совокупность, устанавливаются границы интервалов по группам и подсчитываются частоты.

Проиллюстрируем построение интервального ряда распределения на следующем примере.

Пример 3.2 .

Построить интервальный ряд по следующей статистической совокупности – заработной плате юриста в конторе, тыс. руб.:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

Решение.

Примем оптимальное количество групп равноинтервальной группировки для данной статистической совокупности, равное 4 (у нас 16 вариантов). Следовательно, численность каждой группы равна:

а величина каждого интервала будет равна:

Границы интервалов определяем по формулам:

,

где - соответственно нижняя и верхняя границы i-го интервала.

Опуская промежуточные вычисления границ интервалов, заносим их значения (варианты) и количество юристов (частоты), имеющих з/п в пределах каждого интервала, в таблицу 3.2, которая и иллюстрирует полученный интервальный ряд.

Таблица 3.2

Анализ статистических рядов распределения может производиться с использованием графического метода. Графическое представление рядов распределения позволяет наглядно проиллюстрировать закономерности распределения исследуемой совокупности путем ее изображения в виде полигона, гистограммы и кумуляты. Остановимся на каждом из перечисленных графиков.

Полигон – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x i ;f i ). Обычно полигон используют для изображения дискретных рядов распределения. Для его построения на оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака x i , на оси ординат – соответствующие этим значениям частоты. В результате, соединив отрезками точки, соответствующие данным, отмеченным по осям абсцисс и ординат, получают ломаную, называемую полигоном. Приведем пример построения полигона частот.

Для иллюстрации построения полигона возьмем результат решения примера 3.1 на построение дискретного ряда – рисунок 1. По оси абсцисс отложен возраст осужденных, по оси ординат – количество несовершеннолетних осужденных, имеющих данный возраст. Анализируя данный полигон, можно сказать, что наибольшее количество осужденных – 14 человек, имеют возраст 15 лет.

Рисунок 3.1 – Полигон частот дискретного ряда.

Полигон можно построить и для интервального ряда, в этом случае по оси абсцисс откладывают середины интервалов, а по оси ординат – соответствующие им частоты.

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы значения признака, а высоты равны соответствующим частотам. Гистограмма применяется только для изображения интервальных рядов распределения. Если интервалы являются неравными, то для построения гистограммы на оси ординат откладывают не частоты, а отношение частоты к ширине соответствующего интервала. Гистограмму можно преобразовать в полигон распределения, если середины ее столбиков соединить между собой отрезками.

Для иллюстрации построения гистограммы возьмем результаты построения интервального ряда из примера 3.2– рисунок 3.2.

Рисунок 3.2 – Гистограмма распределения заработной платы юристов.

Для графического изображения вариационных рядов также используют кумуляту. Кумулята – кривая, изображающая ряд накопленных частот и соединяющая точки с координатами (x i ;f i нак ). Накопленные частоты вычисляются последовательным суммированием всех частот ряда распределения и показывают число единиц совокупности, имеющих значение признака не больше, чем указанное. Проиллюстрируем вычисление накопленных частот для вариационного интервального ряда, представленного в примере 3.2 – таблица 3.3.

Таблица 3.3

Для построения кумуляты дискретного ряда распределения по оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака, а по оси ординат – соответствующие им накопленные частоты. При построении кумулятивной кривой интервального ряда первая точка будет иметь абсциссу, равную нижней границе первого интервала, а ординату, равную 0. Все последующие точки должны соответствовать верхним граница интервалов. Построим кумуляту, используя данные таблицы 3.3 – рисунок 3.3.

Рисунок 3.3 – Кумулятивная кривая распределения заработной платы юристов.

Контрольные вопросы

1. Понятие статистического ряда распределения, его основные элементы.

2. Виды статистических рядов распределения. Их краткая характеристика.

3. Дискретные и интервальные ряды распределения.

4. Методика построения дискретных рядов распределения.

5. Методика построения интервальных рядов распределения.

6. Графическое изображение дискретных рядов распределения.

7. Графическое изображение интервальных рядов распределения.

Задачи

Задача 1 . Имеются следующие данные об успеваемости 25 студен­тов группы по ТГП в сессию: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 5, 4, 2, 3, 3. Постройте дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам оценок, получен­ных в сессию. Для полученного ряда рассчитайте Частости, накопленные Частости, накопленные частоты. Сделайте выводы.

Задача 2 . В колонии содержатся 1000 осужденных, их распределение по возрасту представлено в таблице:

Изобразите данный ряд графически. Сделайте выводы.

Задача 3 . Имеются следующие данные о сроках лишения свободы заключенных:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

Постройте интервальный ряд распределения заключенных по срокам лишения свободы. Сделайте выводы.

Задача 4 . Имеются следующие данные о распределении осужденных в области за изучаемый период по возрастным группам:

Изобразите данный ряд графически, сделайте выводы.

Дискретный вариационный ряд строится для дискретный признаков.

Для того, чтобы построить дискретный вариационный ряд нужно выполнить следующие действия: 1) упорядочить единицы наблюдения по возрастанию изучаемого значения признака,

2) определить все возможные значения признака x i , упорядочить их по возрастанию,

значением признака, i .

частота значения признака и обозначают f i . Сумма всех частот ряда равна количеству элементов в изучаемой совокупности.

Пример 1 .

Список оценок полученных студентами на экзаменах: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Здесь число Х – оценка является дискретной случайной величиной, а полученный список оценок - статистические (наблюдаемые) данные .

упорядочить единицы наблюдения по возрастанию изучаемого значения признака:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) определить все возможные значения признака x i , упорядочить их по возрастанию:

В данном примере все оценки можно разделить на четыре группы со следующими значениями: 2; 3; 4; 5.

Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе наблюдаемых данных, называют значением признака, вариантом (вариантой) и обознпчают x i .

Число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующее значение признака в ряде наблюдений называют частота значения признака и обозначают f i .

Для нашего примера

оценка 2 встречается - 8 раз,

оценка 3 встречается - 12 раз,

оценка 4 встречается - 23 раза,

оценка 5 встречается - 17 раз.

Всего 60 оценок.

4) записать полученные данные в таблицу из двух строк (столбцов) - x i и f i .

На основании этих данных можно построить дискретный вариационный ряд

Дискретный вариационный ряд – это таблица, в которой указаны встречающиеся значения изучаемого признака как отдельные значения по возрастанию и их частоты

1. Построение интервального вариационного ряда

Кроме дискретного вариационного ряда часто встречается такой способ группировки данных, как интервальный вариационный ряд.

Интервальный ряд строится если:

признак имеет непрерывный характер изменения;

дискретных значений получилось очень много (больше 10)

частоты дискретных значений очень малы (не превышают 1-3 при относительно большем количестве единиц наблюдения);

много дискретных значений признака с одинаковыми частотами.

Интервальный вариационный ряд – это способ группировки данных в виде таблицы, которая имеет две графы (значения признака в виде интервала значений и частота каждого интервала).

В отличие от дискретного ряда значения признака интервального ряда представлены не отдельными значениями, а интервалом значений («от - до»).

Число, которое показывает, сколько единиц наблюдения попало в каждый выделенный интервал, называется частота значения признака и обозначают f i . Сумма всех частот ряда равна количеству элементов (единиц наблюдения) в изучаемой совокупности.

Если единица обладает значением признака, равным величине верхней границы интервала, то ее следует относить к следующему интервалу.

Например, ребёнок с ростом 100 см попадёт во 2-ой интервал, а не в первый; а ребёнок с ростом 130 см попадёт в последний интервал, а не в третий.

На основании этих данных можно построить интервальный вариационный ряд.

У каждого интервала есть нижняя граница (х н), верхняя граница (х в) и ширина интервала (i ).

Граница интервала – это значение признака, которое лежит на границе двух интервалов.

рост детей (см)	рост детей (см)			количество детей
больше 130

Если у интервала есть верхняя и нижняя граница, то он называется закрытый интервал . Если у интервала есть только нижняя или только верхняя граница, то это – открытый интервал. Открытым может быть только самый первый или самый последний интервал. В приведённом примере последний интервал – открытый.

Ширина интервала (i ) – разница между верхней и нижней границей.

i = х н - х в

Ширина открытого интервала принимается такой же, как ширина соседнего закрытого интервала.

рост детей (см)		количество детей	Ширина интервала (i)
	для расчётов 130+20=150		20 (потому что ширина соседнего закрытого интервала – 20)

Все интервальные ряды делятся на интервальные ряды с равными интервалами и интервальные ряды с неравными интервалами. В интервальных рядах с равными интервалами ширина всех интервалов одинаковая. В интервальных рядах с неравными интервалами ширина интервалов разная.

В рассматриваемом примере - интервальный ряд с неравными интервалами.

Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.

— Математическая статистика – раздел математики, который изучает способы отбора, группировки, систематизации и анализа статистических данных, для получения научно обоснованных выводов.

— Статистические данные – числовые значения рассматриваемого признака изучаемых объектов, полученные как результат случайного эксперимента.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, но в отличие от теории вероятностей, математическая модель эксперимента неизвестна. В математической статистике по статистическим данным необходимо установить неизвестное распределение вероятностей или объективно оценить параметры распределения.

Методы математической статистики позволяют строить оптимальные математические модели массовых, повторяющихся явлений. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются предельные теоремы теории вероятностей.

В настоящее время статистические методы используются практически во всех отраслях народного хозяйства.

— Генеральная совокупность – статистические данные всех изучаемых объектов (иногда – сами объекты). Часто генеральную совокупность рассматривают как СВ Х.

— Выборка (выборочная совокупность) – статистические данные объектов, выбранных случайно из генеральной совокупности.

— Объём выборки n (объём генеральной совокупности N ) – количество объектов, выбранных для изучения из генеральной совокупности (количество объектов в генеральной совокупности).

Примеры .

а) Статистическими данными могут быть: рост студентов; количество глаголов (или других частей речи) в отрывке текста определённой длины; средний балл аттестата; уровень интеллекта; число ошибок, допущенных диспетчером и т. п.

б) Генеральной совокупностью может быть: рост всех людей, разряды всех рабочих завода, частота употребления определённой части речи во всех произведениях изучаемого автора, средний балл аттестата всех выпускников и т. п.

в)Выборкой может быть: – рост 20 студентов, количество глаголов в выбранных произвольно 50 однородных отрывках текста длиной 500 словоупотреблений, средний балл аттестата 100 выпускников, выбранных случайно из школ города и т.п.

Выборка называется репрезентативной, если она верно отражает свойство генеральной совокупности. Репрезентативность выборки достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.

Для того чтобы выборка была репрезентативной применяют различные способы отбора объектов изучения.

Виды отбора : простой, механический, серийный, типический.

Простой . Произвольно отбираются элементы из всей генеральной совокупности.

Механический отбор . Выбирают каждый 10 (25, 30 и т.п.) объект из генеральной совокупности.

Серийный . Проводится исследование в каждой серии (например, из текста выбирают 10 отрывков по 500 словоупотреблений- 10 серий).

Типический . Генеральную совокупность по определённому признаку разделяют на типические группы. Количество серий, извлекаемых из каждой такой группы, определяется удельным весом этой группы в генеральной совокупности.

Статистическое распределение выборки и его графическое изображение.

Пусть изучается СВ Х (генеральная совокупность) относительно некоторого признака. Проводится ряд независимых испытаний. В результате опытов СВ Х принимает некоторые значения. Совокупность полученных значений представляет собой выборку, а сами значения являются статистическими данными.

Первоначально проводят ранжирование выборки - расположение статистических данных выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд.

Вариационный ряд - проранжированная выборка.

Дискретный статистический ряд

Если генеральная совокупность является дискретной СВ, строится дискретный статистический ряд (статистическое распределение).

Пусть значение появилось в выборке раз,

Разa , …, - раз.

I-тая варианта выборки; - частота i-той варианты Частота показывает, сколько раз данная варианта появилась в выборке.

- относительная частота i-той варианты

(показывает какую часть выборки составляет ).

Статистическое распределение – это соответствие между вариантами выборки и их частотами или относительными частотами.

Для ДСВ статистическое распределение можно представить в виде таблицы – статистического ряда частот или статистического ряда относительных частот.

Статистический ряд частот Статистический ряд

относительных частот

			........
			........

			........
			........

Для наглядности представления статистического распределения выборки строят «графики» статистического распределения: полигон и гистограмму.

Полигон частот (относительных частот) – графическое изображение дискретного статистического ряда - ломаная линия, последовательно соединяющая точки [ для полигона относительных частот].

Пример. Исследователя интересуют знания абитуриентов по математике. Выбирают 10 абитуриентов и записывают их школьные оценки по этому предмету. Получена следующая выборка: 5;4;4;3;2;5;4;3;4;5.

а) Представить выборку в виде вариационного ряда;

б) построить статистический ряд частот и относительных частот;

в) изобразить полигон относительных частот для полученного ряда.

а) Проведем ранжирование выборки, т.е. расположим члены выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд: 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5;5.

б) Построим статистический ряд частот (соответствие между вариантами выборки и их частотами) и статистический ряд относительных частот (соответствие между вариантами выборки и их относительными частотами)

	0,1	0,2	0,4	0,3

Статистический ряд частот статистический ряд отн. частот

1+2+4+3=10=n 0,1+0,2+0,4+0,3=1.

Полигон относительных частот.

Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности

Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?

Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).

. Таблица 17

. Общий вид статистических рядов распределения

. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения

Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)

Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания

В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта

В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)

Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).

. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц

Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).

. Таблица 18

. Дискретный ряд распределения _

. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).

В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблица 19

. Интервальный ряд распределения _