Как решать пределы для чайников? Пределы. Примеры решений
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями , которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида
Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.
Пример 1
. Вычислить предел функции
При прямой подстановке точки x = 1
видно что и числитель и знаменатель функции
превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0
.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими
Предел функции с корнями
равен 6
. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом
Пример 2.
Найти предел функции
Убеждаемся что при подстановке x = 3
получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.
Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов
Вот так просто нашли предел функции с корнями.
Пример 3.
Определить предел функции
Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе
Предел функции равна 8 .
Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.
Пример 4
. Вычислить предел функции
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов
Границ функции равна -2,5
.
Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности, а затем подстановке переменной
Пример 5.
Найти предел функции
Предел эквивалентен - бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши , а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей :
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится
к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое
. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится
к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают
.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует !
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее
значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .
Пример 4
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела
. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь
нельзя
. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела
. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое "сопряжённое" выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин "сопряжённое выражение", использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
\begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation}
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Так как $\lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0$ и $\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое "сопряжённое выражение". Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$
Чтобы раскрыть скобки применим , подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$
Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$
Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$
Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}.$$
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру - в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Ответ : $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}=-\frac{1}{4}$.
Пример №2
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})=\sqrt{2^2+5}-\sqrt{7\cdot 2^2-19}=3-3=0$ и $\lim_{x\to 2}(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})} $$
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{x^2+5}$, $b=\sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:
$$ \left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}\right)\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}\right)=\\ =\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2-\left(\sqrt{7x^2-19}\right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Вернёмся к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{-6\cdot(x^2-4)}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} $$
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать . Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2. \end{aligned} $$
Подставляя $x_1=-\frac{1}{3}$, $x_2=2$ в , будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac{1}{3}\right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся , подставив в неё $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} $$
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}. $$
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot\frac{(3\cdot 2+1)(\sqrt{2^2+5}+\sqrt{7\cdot 2^2-19})}{2+2}= -\frac{1}{6}\cdot\frac{7(3+3)}{4}=-\frac{7}{4}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=-\frac{7}{4}$.
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}$.
Так как $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})=\sqrt{9}-\sqrt{9}=0$ и $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0$, то мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.
$$ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})} $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin{aligned} & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;\\ & x_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{-2}=\frac{8}{-2}=-4. \end{aligned} \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin{aligned} & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2}=\frac{6}{2}=3;\\ & x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{aligned}\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
$$ \lim_{x\to 5}\frac{(-x^2+x+20)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \lim_{x\to 5}\frac{-(x-5)(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{-(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \frac{-(5+4)(\sqrt{5^2-3\cdot 5+6}+\sqrt{5\cdot 5-9})}{(5-3)(\sqrt{5+4}+\sqrt{5^2-16})}=-6. $$
Ответ : $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения - избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
\begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Пример №4
Найти $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}$.
Так как $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}\right)=0$ и $\lim_{x\to 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt{5x-12}+\sqrt{x+4}$ приведёт к такому результату:
$$ \left(\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{5x-12}+\sqrt{x+4}\right)=\sqrt{(5x-12)^2}-\sqrt{(x+4)^2} $$
Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может "убрать" только третья степень, посему нужно использовать . Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt{5x-12}$, $b=\sqrt{x+4}$, получим:
$$ \left(\sqrt{5x-12}- \sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)=\\ =\sqrt{(5x-12)^3}-\sqrt{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16. $$
Итак, после домножения на $\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2}$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2}$ будет сопряжённым к выражению $\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}$:
$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt{5x-12}- \sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)} $$
Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. ). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:
$$ \lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\lim_{x\to 4}\frac{1}{(x+4)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\frac{1}{(4+4)\left(\sqrt{(5\cdot4-12)^2}+\sqrt{5\cdot4-12}\cdot \sqrt{4+4}+\sqrt{(4+4)^2} \right)}=-\frac{1}{24}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}=-\frac{1}{24}$.
Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим . Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, - разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе - с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $\frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:
$$ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 8}\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot \left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(\sqrt{x+1}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)\cdot\left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)}=\\= \lim_{x\to 8}\frac{(x-8)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)}= \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4}=\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}. $$
Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум .
Пример №5
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{5x+6}-2)=0$ и $\lim_{x\to 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем . Сопряжённое выражение к числителю имеет вид
$$\sqrt{(5x+6)^3}+\sqrt{(5x+6)^2}\cdot 2+\sqrt{5x+6}\cdot 2^2+2^3=\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8.$$
Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:
$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt{5x+6}-2\right)\cdot \left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)} $$
Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. ), то:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ \frac{5}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot\left(\sqrt{(5\cdot 2+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5\cdot 2+6)^2}+4\cdot\sqrt{5\cdot 2+6}+8\right)}=\frac{5}{384}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}=\frac{5}{384}$.
Пример №6
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{3x-5}-1}{\sqrt{3x-5}-1}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, - лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.
Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой - третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них - число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями.